Рекомендации по построению метода итераций и его эффективных вариантов при приближенном решении алгебраических и трансцендентных уравнений

Глава I. Исследование метода итераций

2. Нелинейные уравнения нелинейный уравнение алгоритм

Одной из важнейших и наиболее распространённых задач прикладной математики является задача решения нелинейных уравнений, встречающихся в разных областях научных исследований. Любое уравнение в общем случае можно представить в виде
f ( x ) = 0.
Нелинейные уравнения можно разделить на два класса - алгебраические и трансцендентные.
Алгебраическими уравнениями называются уравнения, содержащие только алгебраические функции (целые, рациональные, иррациональные). Алгебраическое уравнение в общем виде можно представить многочленом n-ой степени с действительными коэффициентами:
f (x) = а₀x_n + а₁х_n-1 +... + а_n =0.
Например, х³ + х² + 2х = 0.
Трансцендентными называются уравнения, содержащие другие функции (тригонометрические, показательные, логарифмические и т.д.), например: 2x-sin x = 0.
Доказано также, что нельзя построить формулу, по которой можно было бы решать произвольные алгебраические уравнения степени, выше четвертой.
Однако точное решение уравнения не всегда является необходимым. Задачу отыскания корней уравнения можно считать практически решенной, если мы сумеем найти корни уравнения с заданной степенью точности. Для этого используются приближенные (численные) методы решения.
Таким образом, уравнение типа или называется нелинейным. Решить уравнение - это значит найти такое x, при котором уравнение превращается в тождество. В общем случае уравнение может иметь 0; 1; 2;...∞ корней. Рассмотрим нахождение корня нелинейного уравнения с помощью метода итераций на заданном интервале [a,b].

3. Метод итераций

Уравнение представим в виде: .
Далее на отрезке [a,b], где функция имеет корень, выбирается произвольная точка x₀ и далее последовательно вычисляется:


(1)

Если на отрезке [a,b] выполнено условие |φ΄(x)| ≤ q <1, то итерационный процесс сходится к корню уравнения .

Если необходимо вычислить корень с точностью ε, то процесс итераций продолжается до тех пор, пока для двух последовательных приближений x_n и x_n-1 не будет выполнено:
, при этом всегда выполняется , где ε задается погрешностью корня x*.
Если q ≤0.5, то можно пользоваться соотношением .
Процесс определения интервала изоляции [a,b], содержащего только один из корней уравнения, называется отделением этого корня.
Процесс отделения корней проводят исходя из физического смысла прикладной задачи, графически, с помощью таблиц значений функции f(x) или при помощи специальной программы отделения корней. Процедура отделения корней основана на известном свойстве непрерывных функций: если функция непрерывна на замкнутом интервале [a,b] и на его концах имеет различные знаки, т.е. f(a)f(b)<0, то между точками a и b имеется хотя бы один корень уравнения f(x)=0. Если при этом знак функции f'(x) на отрезке [a,b] не меняется, то корень является единственным на этом отрезке.
Процесс определения корней алгебраических и трансцендентных уравнений состоит из 2 этапов:
 отделение корней, - т.е. определение интервалов изоляции [a,b], внутри которого лежит каждый корень уравнения;
 уточнение корней, - т.е. сужение интервала [a,b] до величины равной заданной степени точности ε.