Relativity: The Special and General Theory

102
GENERAL THEORY OF RELATIVITY 
the situation depicted here corresponds to the one 
brought about by the general postulate of relativity 
(Section 
XXIII
).
Gauss undertook the task of treating this two-dimensional geometry 
from first principles, without making use of the fact that the surface 
belongs to a Euclidean continuum of three dimensions. If we im-
agine constructions to be made with rigid rods in the surface (similar 
to that above with the marble slab), we should find that different 
laws hold for these from those resulting on the basis of Euclidean 
plane geometry. The surface is not a Euclidean continuum with 
respect to the rods, and we cannot define Cartesian co-ordinates in 
the surface. Gauss indicated the principles according to which we 
can treat the geometrical relationships in the surface, and thus 
pointed out the way to the method of Riemann of treating multi- 
dimensional, non-Euclidean continua. Thus it is that mathemati-
cians long ago
solved the formal problems to which we are led by the 
general postulate of relativity. 

---

XXV 
 
GAUSSIAN CO–ORDINATES 
CCORDING to Gauss, this combined ana-
lytical and geometrical mode of handling 
the problem can be arrived at in the 
following way. We imagine a system of arbitrary 
curves (see Fig. 4) drawn on the surface of the 
table. These we designate as u-curves, and we 
indicate each of them by means of a number. 
The curves u 
=
1
, u 
=
2
and u 
=
3
are drawn 
in the diagram. Between the curves u 
=
1
and 
u 
=
2
we must imagine an 
infinitely large number to 
be drawn, all of which 
correspond to real num-
bers lying between 
1
and 
2
. We have then a system 
of u-curves, and this “in-
finitely dense” system covers the whole surface of 
the table. These u-curves must not intersect each 
other, and through each point of the surface one 
and only one curve must pass. Thus a perfectly 
definite value of u belongs to every point on the 
surface of the marble slab. In like manner we 
103
A 

---