Relativity: The Special and General Theory

GAUSSIAN CO–ORDINATES
105
 
v-curves and to attach numbers to them, in such 
a manner, that we simply have: 
.
2
2
2
dv
du
ds
+
=
Under these conditions, the u-curves and v-curves 
are straight lines in the sense of Euclidean geom-
etry, and they are perpendicular to each other. 
Here the Gaussian co-ordinates are simply Car-
tesian ones. It is clear that Gauss co-ordinates 
are nothing more than an association of two sets 
of numbers with the points of the surface con-
sidered, of such a nature that numerical values 
differing very slightly from each other are asso-
ciated with neighbouring points “in space.”
So far, these considerations hold for a con-
tinuum of two dimensions. But the Gaussian 
method can be applied also to a continuum of 
three, four or more dimensions. If, for instance, 
a continuum of four dimensions be supposed 
available, we may represent it in the following 
way. With every point of the continuum we 
associate arbitrarily four numbers, x
1
, x
2
, x
3
, x
4
, 
which are known as “co-ordinates.” Adjacent 
points correspond to adjacent values of the co- 
ordinates. If a distance ds is associated with 
the adjacent points P and P', this distance being 
measurable and well-defined from a physical point 
of view, then the following formula holds:
2
4
44
2
1
12
2
1
11
2
.
.
.
.
2
dx
g
dx
dx
g
dx
g
ds
+
+
=
, 

---