Решение системы, соответствующее этому корню, ищем в виде (11. 6) (при ):, в котором — неопределенные коэффициенты. Подставив эти соотношения в исходную систему и сократив на et

Пример 1. Выяснить, устойчиво ли решение уравнения
с начальным условием ?
Решение. Общее решение этого уравнения имеет вид .
Подставив сюда начальное условие, получим . Таким образом, на устойчивость требуется исследовать решение .
Разность . Выберем . Запишем условие (14.3):
Неравенство (14.4) принимает вид Легко видеть, что для его выполнения при всех достаточно выбрать любое положительное . Следовательно, решение исходного уравнения устойчиво.
Поскольку выражение не стремится к нулю при
и малых , это решение не будет асимптотически устойчивым.
Пример 2. Выяснить, устойчиво ли решение уравнения c начальным условием
Решение. Общее решение данного уравнения с разделяющимися переменными имеет вид , кроме того, есть еще решение . Решение, удовлетворяющее заданному начальному условию, получается при и имеет вид
Разность Возьмем .
Условие (14.3) примет вид . Отсюда Это означает, что C принадлежит некоторому открытому интервалу, содержащему точку .
Запишем теперь условие (14.4):
Под знаком модуля стоит многочлен от t, не равный константе при всех
. Ясно, что модуль этого многочлена не может быть ограничен сверху
никаким числом ε при . Поэтому решение не является устойчивым.
14.1. Устойчивость по первому приближению
Рассмотрим один из методов исследования на устойчивость нулевого решения системы (14.1). Разложим функции в ряд Тейлора в точке с точностью до слагаемых первой степени:
где — постоянные числа, а функции — бесконечно
малые порядка выше первого, то есть,
равномерно по (здесь n). Пусть — матрица из коэффициентов разложений (14.6).