Решение системы, соответствующее этому корню, ищем в виде (11. 6) (при ):, в котором — неопределенные коэффициенты. Подставив эти соотношения в исходную систему и сократив на et

Свойства преобразования Лапласа. Всюду в дальнейшем мы считаем, что

1. 
   Свойство линейности. Для любых комплексных постоянных α и β
   
   

II. Теорема подобия. Для любого постоянного

III. Дифференцирование оригинала. Если — функция-оригинал, то
Обобщение. Если функция раз непрерывно дифференцируема при
— оригинал, то
IV. Дифференцирование изображения.
(дифференцирование изображения равносильно умножению оригинала на
-t).
Обобщение.
V. Интегрирование оригинала.

(интегрирование оригинала сводится к делению изображения на p).
VI. Интегрирование изображения.
если

сходится.
VII. Теорема запаздывания. Для любого имеет место
.
VIII.Теорема смещения. Для любого комплексного λ имеет место
IX.Теорема умножения (Э. Борель).
Два последних интеграла называются сверткой функций f и g. Таким образом, умножение изображений равносильно свертке оригиналов.
Если изображение F(p) есть правильная рациональная дробь: где — многочлены и , — полюсы
функции порядка (то есть, нули многочлена кратности ), то
оригинал может быть найден по формуле

В частном случае, когда все , — простые полюсы ,
формула (12.2) упрощается и принимает вид

Пример 1. Найти изображения следующих функций-оригиналов
1) 2) 3) ; 4) ; 5) ; 6) ; 7) ;
8)
Решение. Непосредственным вычислением интеграла (12.1) при , находим, что . Согласно IV, откуда 1) Применяя VIII, получим 2)
Так как , то, используя свойство I и найденное
изображение функции , получаем, что 3)

Аналогично, 4) , 5) , 6)
Применяя VIII для функции , найдем 7) .
Аналогично, свойства IV и I для функции приводят к 8) .