Решение системы, соответствующее этому корню, ищем в виде (11. 6) (при ):, в котором — неопределенные коэффициенты. Подставив эти соотношения в исходную систему и сократив на et

Пример 5. Исследовать на устойчивость нулевое решение системы

Решение. Попытаемся применить теорему Ляпунова об устойчивости по
первому приближению. Матрица A из п. 14.1 имеет вид и ее собственные значения равны нулю, поэтому теорема об устойчивости по первому приближению ответа не дает.
Построим функцию Ляпунова V . Ее производная в силу системы (14.11)
имеет вид Попытаемся уничтожить слагаемые, входящие в это выражение со знаком «+». Если V будет содержать слагаемое вида , то ее производная будет содержать слагаемое . Его можно взаимно уничтожить только со слагаемым . Этого можно добиться, если , откуда .
Аналогично, если V будет содержать слагаемое , то будет содержать
слагаемое . От него можно избавиться за счет слагаемого , откуда необходимо Итак, посмотрим, что будет, если функция V будет содержать слагаемые . В этом случае в выражении для будет присутствовать Легко видеть, что при , , функция будет отрицательно определенной в окрестности начала координат.
Таким образом, функция удовлетворяет условиям
теоремы Ляпунова об асимптотической устойчивости и нулевое решение системы (14.11) будет асимптотически устойчивым.
Пример 6. Показать, что нулевое решение системы

неустойчиво.
Решение. Покажем, что функция удовлетворяет условиям теоремы Четаева. Действительно, рассмотрим область Точка принадлежит ее границе, а функция V равна нулю на этой границе и положительна внутри области. Производная в силу системы положительно определена внутри области U , так как .
14.3. Условия отрицательности вещественных частей корней многочлена
Левая часть характеристического уравнения для нахождения собственных значений матрицы A представляет собой многочлен. Таким образом, чтобы найти собственные значения, приходится искать корни этого многочлена, а это зачастую сделать не очень просто. Естественным образом возникает вопрос: нельзя ли выяснить, будут ли вещественные части корней заданного многочлена
отрицательны, не вычисляя самих корней? Ответ на этот вопрос дают следующие условия.
Необходимое условие. Все коэффициенты ai должны быть положительны. Отметим, что в случае, когда n 6 2, это условие одновременно является и достаточным. Действительно, если Если же ,
то необходимо рассмотреть два случая. 1) Дискриминант D уравнения отрицателен. Тогда корни имеют вид , и их вещественные
части, равные , отрицательны. 2) Дискриминант уравнения неотрицателен. Тогда оно имеет два вещественных корня, сумма которых отрицательна (она равна ), а произведение положительно (оно равно ). Поэтому оба эти корня отрицательны.