Решение. Выразим производные от функции

y(x) = C₁ cose^x + C₂ sine^x.
б) Здесь . Сначала провед¨ем замену переменной (14.2), в результате которой слагаемое с первой производной исчезает, т.е.
t = Z e−^{R a1(x)dx}dx = Z e−^{R tg xdx}dx = Z cosxdx = −sinx, t ∈ J =] − 1,0[.
(14.22)
Так как
dt
_dx = −cosx,
то преобразованное уравнение (14.3) примет вид
, т.е.
.
Решение этого уравнения мы рассмотрим позднее, а сейчас перейд¨ем к замене аргумента (14.5), преобразующей исходное уравнение в уравнение с постоянными коэффициентами:
(14.23)
Тогда

и преобразованное уравнение (14.10) с коэффициентами (14.11) примет вид
.
После несложных преобразований получим
. (14.24)
Чтобы найти фундаментальную систему решений этого уравнения, запишем соответствующий ему линейный дифференциальный оператор
,
который можно записать и так:

Это будет соответствовать уравнениям
(D − 4)(y^′+ y) = 0 и или двум уравнениям первого порядка	(D + 1)(y^′− 4y) = 0
y^′(t) + y(t) = 0 и	y^′(t) − 4y(t) = 0,

и Lb2 = (D + 1)(D − 4).
решения которых очевидны: y = e−^t и y = e^4t. Поскольку e^4t/e−^t = e^5t = 06 для всех t, то эти решения линейно независимы и представляют собой фундаментальную систему решений уравнения (14.24). Тогда его общее решение можно записать в виде y(t) = C e⁻t _{+ C2e}4_t.
1
Перейдя от новой переменной t к старой переменной x заменой (14.23), получим общее решение исходного уравнения б) y(x) = C₁eln(sinx)^−1/3 + C₂eln(sinx)^4/3 = C₁(sinx)−1/3 + C₂(sinx)4/3.
Пример 14.3. При какой функции a₀(x) уравнение a) = 0;
б)
заменой аргумента t = t(x) можно свести к уравнению с постоянными коэффициентами, в котором отсутствует слагаемое с первой производной? (Последнее условие в физических приложениях можно рассматривать, например, как отсутствие сил сопротивления, пропорциональных скорости изменения величины
y(x).)
Решение. В примере 14.1 было показано, что уравнение

можно привести к требуемому виду, если выполняется условие (14.7):
.
Это соотношение, являясь уравнением с разделяющимися переменными, после интегрирования да¨ет связь между a₀(x) и a₁(x):
a₀(x) = e−2R a1(x)dx.
a) В этом случае a₁(x) = −1 и, следовательно,