Решение. Выразим производные от функции

Download 0.96 Mb.

bet	6/6
Sana	20.06.2023
Hajmi	0.96 Mb.
	#1636679
Turi	Решение

1 2 3 4 5 6

Bog'liq
Egamberganov Shohruxmirzo Differensial Tenglama

y(x) = e⁻^x³^/⁶(C₁cosx + C₂sinx).

(14.49)

В случае б) , и, следовательно,
.
Тогда замена ₂
y(x) = e⁻^{x /}⁴v(x) (14.50)
привед¨ет уравнение б) к каноническому виду
или
которое совпадает с уравнением (14.47), полученным для уравнения а). Поскольку общее решение этого уравнения зада¨ется формулой (14.49), то уравнение б) имеет общее решение
y(x) = e⁻^x²^/⁴(C₁cosx + C₂sinx). (14.51)
Интересно, что замены (14.46) и (14.50) приводят оба уравнения а) и б) к одному каноническому виду (14.47), определяющему, по сути дела, их общие решения (14.49) и (14.51). Чтобы объяснить это совпадение, введ¨ем такое понятие, как инвариант линейного дифференциального уравнения (см. также пример 14.6).
Инвариантом Q(x) линейного уравнения

y^′′(x) + a₁(x)y^′(x) + a₀(x)y(x) = 0
называется функция

(14.52)

. (14.53)

Лемма 14.1. Два линейных уравнения
y^′′(x) + a₁(x)y^′(x) + a₀(x)y(x) = 0,	(14.54)
y^′′(x) + ¯a₁(x)y^′(x) + ¯a₀(x)y(x) = 0	(14.55)

с равными инвариантами можно привести к одному каноническому виду.
Доказательство. Согласно определению, инвариант уравнения (14.54) равен
, (14.56)
а уравнения (14.55), соответственно,
. (14.57)
Как показано в примере 14.6, эти уравнения заменами

и
,
соответственно, сводятся к уравнениям

коэффициенты которых определяются выражением
− 1 ²(x) − 1a^′₁(x), b₀(x) = a₀(x)a₁
4 2
¯b₀(x) = ¯a₀(x) − ¹a¯₁²(x) − ¹a¯^′₁(x).
4 2
Но эти коэффициенты, согласно (14.56) и (14.57), совпадают с инвариантами уравнений (14.54), (14.55): b₀(x) = Q(x), ¯b₀(x) = Q¯(x). Это означает, что в случае равенства инвариантов Q(x) = Q¯(x) каноническая форма уравнений (14.54), (14.55) совпадает, что и требовалось доказать.
Теорема 14.1. Равенство инвариантов двух уравнений
y^′′(x) + a₁(x)y^′(x) + a₀(x)y(x) = 0,
(14.60) y¯^′′(x) + ¯a₁(x)¯y^′(x) + ¯a₀(x)¯y(x) = 0
является достаточным условием того, чтобы одно из них могло быть преобразовано в другое заменой
. (14.61)
Доказательство. Пусть Q(x) и Q¯(x) — инварианты первого и второго уравнения (14.60). Так как эти инварианты равны, то, согласно лемме 14.1, оба уравнения заменами
(14.62)
и
, (14.63)
соответственно, приводятся к одному каноническому уравнению для функции v(x):
v^′′(x) + Q(x)v(x) = 0. (14.64)
Тогда, записав из (14.63)
(14.65)
и подставив (14.65) в (14.62), прид¨ем к подстановке (14.61), связывающей функции y(x) и y¯(x) из уравнений (14.60).
Пример 14.8. Для уравнений из примера 14.7 найти замену, позволяющую преобразовать уравнение а) в уравнение б).
Решение. Имеем уравнения
,
Вычислим инварианты обоих уравнений:
a) ,
б) ,
т.е. Q(x) = Q¯(x) = 1 и, следовательно, согласно теореме 14.1, искомая замена имеет вид
.
Подставив сюда решение уравнения б), найденное в примере 14.7, получим y(x) = e−x3/6+x2/4e−x2/4(C1 cosx + C2 sinx) = e−x3/6(C1 cosx + C2 sinx).
Это решение совпадает с решением (14.49) из того же примера.
♦ В заключение отметим, что именно равенством инвариантов объясняется совпадение уравнений для функции v(x) в примере 14.7.
♦ Заметим, что в задаче б) из примера 14.6 замена (14.33), позволяющая понизить порядок заданного уравнения, сама определяется решением этого уравнения, что делает е¨е мало применимой. Ситуация меняется кардинально, если известно какое-либо решение заданного уравнения. В этом случае замена (14.33) позволяет построить второе решение и тем самым найти его общее решение.
Лемма 14.2 (формула Абеля). Если y₁(x) — нетривиальное решение ли-
нейного однородного уравнения
y^′′(x) + a₁(x)y^′(x) + a₀(x)y(x) = 0,
где a₁(x),a₀(x) — непрерывные на I =]a,b[ функции, прич¨ем y₁(x) = 06 для всех x ∈ I, то его общее решение определяется формулой Абеля
, (14.66)
где C₁,C₂— произвольные постоянные.
Доказательство. Воспользовавшись результатами примера 14.7,б), заменой искомой функции
y(x) = y₁(x)Z u(x)dx (14.67)
прид¨ем к уравнению 1-го порядка для функции u(x) (14.45)
.
Разделив переменные:
= −ha₁(x) + ₁(x)idx du 2y′
u(x) y₁(x)
и проинтегрировав: 1 R a1(x)dx,
u(x^{) =}y₁₂e⁻
из (14.67) найд¨ем y(x) = y1(x)Z y₁2(x)e−R a1(x)dxdx. 1
Таким образом, имеем два решения
(14.68)
которые в силу соотношения

являются линейно независимыми. Это позволяет систему (14.68) рассматривать как фундаментальную, определяющую общее решение (14.66). Пример 14.9. Найти общее решение уравнения
.
Решение. Непосредственной подстановкой убеждаемся, что функция y₁= x является решением исходного уравнения. Действительно,
.
Второе решение уравнения можно найти по формуле (14.68):
(14.69)
Вычислим первый интеграл по частям, положив u = 1/x, dv = e^xdx, du = −dx/x², v = e^x:

Подставив это выражение в (14.69), найд¨ем
.
Решения y₁= x и y₂= e^xв силу их линейной независимости на I образуют фундаментальную систему решений и определяют общее решение исходного уравнения y(x) = C₁x + C₂e^x.
Замена (14.67), приводящая к формуле Абеля для уравнений 2-го порядка, эффективна и для уравнений более высоких порядков. Именно это иллюстрируют следующие два примера.

Download 0.96 Mb.

Do'stlaringiz bilan baham:

1 2 3 4 5 6