Решение. Выразим производные от функции

t = lnx или x = e^t, x ∈ I =]0,∞[, t ∈ J =] − ∞,∞[. (14.31)
Исходя из (14.31), последовательно найд¨ем
;
; .
Подставив эти выражения в исходное уравнение, получим
и ли
(14.32)
Чтобы найти фундаментальную системы решений этого уравнения, выпишем отвечающий ему линейный дифференциальный оператор:
,
который можно записать в тр¨ех вариантах:
Lb3 = (D + 1)(D + 2)(D + 3) = (D + 2)(D + 3)(D + 1) = (D + 3)(D + 1)(D + 2).
Это будет соответствовать тр¨ем уравнениям
(D + 1)(D + 2)(y^′ + 3y) = 0,
(D + 2)(D + 3)(y^′ + y) = 0, (D + 3)(D + 1)(y^′ + 2y) = 0.
Эти уравнения обращаются в тождества, если функция y(x) удовлетворяет тр¨ем уравнениям 1-го порядка:
y^′ + 3y = 0, y^′ + y = 0, y^′ + 2y = 0.
Решения этих уравнений очевидны: y = e−^3t, y = e−^t, y = e−^2t. Как следует из примера 12.7, эти функции являются линейно независимыми в R. Тогда можно рассматривать их как фундаментальную систему решений уравнения (14.32):
y1(t) = e−t, y2(t) = e−2t, y3(t) = e−3t
и общее решение записать в виде
y(t) = C1y1 + C2y2 + C3y3 = C1e−t + C2e−2t + C3e−3t,
где C₁,C₂,C₃ — произвольные постоянные.
Возвратившись, согласно (14.31), от переменной t к старой переменной x, найд¨ем общее решение исходного уравнения
.
Пример 14.6. Линейное однородное уравнение
y^′′ + a₁(x)y^′ + a₀(x)y = 0, x ∈ I =]a,b[,
заменой функции y(x) на новую неизвестную функцию v(x) соотношением y(x) = p(x)v(x), p(x) = 06 , x ∈ I, привести к виду
а) не содержащему v′(x);
б) не содержащему v(x).
Решение. Произведя замену переменных
y(x) = p(x)v(x), (14.33)
последовательно найд¨ем
y′(x) = p(x)v′(x) + p′(x)v(x), (14.34) y′′(x) = p(x)v′′(x) + 2p′(x)v′(x) + p′′(x).
Подставим эти выражения в исходное уравнение:
p(x)v^′′ + [2p^′(x) + a₁(x)]v^′ + [p^′′(x) + a₁(x)p^′(x) + a₀(x)p(x)]v = 0.
Поскольку p(x) = 06 для всех x ∈ I, то полученное уравнение можно привести к каноническому виду
v^′′(x) + b₁(x)v^′(x) + b₀(x)v(x) = 0, (14.35)
где
(14.36)
. (14.37)
Как следует из (14.35), замена функции (14.33) не меняет характер уравнения, оставляя его линейным и однородным.
Для случая а) мы должны потребовать выполнения условия b₁(x) = 0 или, согласно (14.36),
2p^′(x) + a₁(x)p(x) = 0, (14.38)
при котором будет отсутствовать слагаемое, содержащее первую производную v′(x). Из (14.38), разделив переменные, найд¨ем
. (14.39)
Таким образом, функция p(x) определяется однозначно с точностью до произвольного постоянного множителя и приводит исходное уравнение к виду
v^′′(x) + b₀(x)v(x) = 0. (14.40)
Преобразовав b₀(x) (14.37) с уч¨етом (14.38), выразим его непосредственно через коэффициенты исходного уравнения a₁(x) и a₀(x):

11
b₀(x) =− [a₁(x)p(x)]′ + a₁(x)p′(x) + a₀(x)p(x)o =
p(x)2
− 1 ²(x) − 1a′₁(x). (14.41)
= a₀(x)a₁
4 2
Подставив (14.41) в (14.40), получим
. (14.42)
♦ Позже мы увидим, что выражение в квадратных скобках является важной характеристикой линейных уравнений 2-го порядка.
Для случая б) мы должны потребовать выполнения условия b₀(x) = 0 в (14.35). Это означает, что функция p(x) должна удовлетворять уравнению
p^′′(x) + a₁(x)p^′(x) + a₀(x)p(x) = 0,
совпадающему с исходным уравнением.
Таким образом, если нам известно какое-либо решение p(x) исходного уравнения, то заменой (14.33) это уравнение можно привести к виду
v^′′(x) + b₁(x)v^′(x) = 0, (14.43)
допускающему понижение порядка. Положив в (14.43)
v(x) = Z u(x)dx, (14.44)
прид¨ем к уравнению первого порядка для новой неизвестной функции u(x):
u^′(x) + b₁(x)u(x) = 0
или с уч¨етом (14.36)
. (14.45)
В заключение заметим, что рассмотренный пример подводит нас к двум важным свойствам преобразований линейных однородных уравнений. Мы перейд¨ем к их рассмотрению после следующего примера.
Пример 14.7. Уравнения
a) ,
б)
привести к каноническому виду, не содержащему первую производную, по возможности записать общее решение.
Решение. Как следует из предыдущего примера, заданное уравнение приводится к требуемому виду (14.42):

заменой y(x) = p(x)v(x), где p(x) определяется как (14.39):

1
p(x) = C exp − Z a₁(x)dxo.
2
Поскольку в случае а) a₁(x) = x², a′₁(x) = 2x, a₀(x) = 1 + x + x²/4, то
,
и замена y(x) = e⁻x3/6v(x) (14.46)
привед¨ет уравнение а) к каноническому виду
и ли
(14.47)
Это уравнение уже рассматривалось в примере 13.5, где было получено его общее решение

v(x) = C1 cosx + C2 sinx. Таким образом, общее решение уравнения а) имеет вид	(14.48)