Решение. Выразим производные от функции

ka0(x)h2a₀0((xx)) + a1(x)i = k1.
Очевидно, что при
a′₀(x)
2a₀(x) + a1(x) = 0
k₁ = 0 и уравнение примет вид (14.8):
.
в) Уравнение (14.10) с переменной t не содержит y только при условии
. (14.17)
П оскольку dx/dt = 06 , x ∈ I, t ∈ J, то условие (14.17) выполнимо только при a₀(x) ≡ 0, x ∈ I, но в этом случае оно уже не содержит y. Если же a₀(x) = 06 ,
, то выполнение условия (14.17) невозможно при любой замене аргумента x = x( ).
Пример 14.2. С помощью замены независимой переменной привести уравнения
a) y^′′(x) − y^′(x) + e^2xy(x) = 0;
б)
к виду, не содержащему первую производную неизвестной функции, или к уравнению с постоянными коэффициентами, по возможности записать общее решение.
Решение. Воспользуемся результатами предыдущего примера.
а) Здесь a₁(x) = −1, a₀(x) = e^2x, x ∈ R. Провед¨ем замену переменной (14.2), в результате которой исчезает слагаемое с первой производной, т.е.
t = Z e−R a1(x)dxdx = Z e−R(−1)dxdx = ex, (14.18)
тогда
x = lnt
и
Преобразованное уравнение (14.3) имеет вид

, т.е.
. (14.19)
Это уравнение является не только уравнением, не содержащим первую производную, но ещ¨е и уравнением с постоянными коэффициентами.
Теперь провед¨ем замену аргумента (14.5), переводящую исходное уравнение в уравнение с постоянными коэффициентами:
. (14.20)
Тогда
t 1
x = ln √ = lnt − lnk k 2
d
и dxdt = 1t, dt2x² = −t1² , dxdt = √kex, dxd2t2 = kex.
Преобразованное уравнение (14.10) с коэффициентами (14.11) в этом случае имеет вид
,
т .е. уравнение
(14.21)
представляет собой не только уравнение с постоянными коэффициентами, но и уравнение, не содержащее первую производную.
Таким образом, обе замены: t = e^x и t = √ke^x приводят к уравнениям (14.19) и (14.21) одного типа, различающимся лишь множителем 1/k у второго слагаемого. Это различие вообще исчезнет при k = 1, и тогда мы при совпавших заменах t = e^x прид¨ем к одному уравнению (14.19). Такое совпадение замен (14.18), (14.20) и уравнений (14.19), (14.21) объясняется тем, что коэффициенты a₁(x) и a₀(x) исходного уравнения удовлетворяют условию (14.7)
,
которое является одновременно и условием приводимости к уравнению с постоянными коэффициентами, и условием отсутствия первой производной.
Итак, замена (14.18) t = e^x, t ∈ R, поскольку x ∈ I =] − ∞,∞[, приводит к уравнению (14.19):
.
Это уравнение уже рассматривалось в примере 13.5, где было показано, что оно имеет частные решения y₁(t) = cost, y₂(t) = sint, которые, как следует из примера 12.7, являются линейно независимыми на J и, следовательно, образуют фундаментальную систему решений. Поэтому общее решение имеет вид
y(t) = C₁ cost + C₂ sint.
Возвратившись от новой переменной t к старой переменной x заменой (14.18) t = e^x, получим общее решение исходного уравнения