R(n)- funksiya va uning xossalari

2. Bir noma’lumli taqqoslamalar.
Birinchi darajali bir noma’lumli taqqoslamalarni yechish

1. Faraz qilaylik f(x) n-darajali butun koeffitsiyentli ko‘phad bo‘lsin, ya’ni . Bu yerda . U holda

(1)
taqqoslamaga n-darajali bir noma’lumli taqqoslama deyiladi.
(1) da soni m ga bo‘linmaydi. (1) ni yechish bu uni qanoatlantiruvchi barchа x larni topish demakdir. Lekinda agar (1) ning yechimlaridan biri bo‘lsa, ya’ni bo‘lsa, u holda taqqoslamani qanoatlantiruvchi barcha sonlar ham (1) ning yechimi bo‘ladi. Haqiqatan ham ni deb yoza olamiz. Buni (1) ga olib borib qo‘ysak:

Bundan taqqoslamaga o‘tsak, ni hosil qilamiz. Shuning uchun ham (1) ning yechimi, deganda alohida olingan birta son emas, balki sinf bitta yechim deb tushuniladi. m modul bo‘yicha m ta chegirmalar sinflari mavjud bo‘lganligi sababli (1 ) ning barcha yechimlarini m moduli bo‘yicha chegirmalarning to‘la sistemasidagi chegirmalarni qo‘yib sinab ko‘rish yo‘li bilan topish mumkin. Bu usulga tanlash usuli deyiladi.
1- misol. taqqoslamani yeching.
7 moduli bo‘yicha chegirmalarning to‘la sistemasini, tekshirish qulay bo‘lsin uchun absolyut qiymati jihatidan eng kichik chegirmalar sistemasi ko‘rinishda yozib olamiz. Berilgan taqqoslamaga bu sonlarni qo‘yib tekshirsak faqat uni qanoatlantiradi, demak berilgan taqqoslamaning yagona yechimi.
2-misol. taqqoslamani yeching.
Bu yerda 3 moduli bo‘yicha absolyut qiymati jihatidan eng kichik chegirmalarning to‘la sistemasi dan iborat, lekin bularning birortasi ham berilgan taqqoslamani qanoatlantirmaydi, ya’ni berilgan taqqoslama yechimga ega emas.
Agarda berilgan taqqoslamani ixtiyoriy butun son qanoatlantirsa, u holda bu taqqoslamaga айний taqqoslama deyiladi.
Ayniy taqqoslamaga misol sifatida Ferma teoremasidan kelib chiqadigan (р-tub son) taqqoslamani olish mumkin. Shuningdek agar f(x) ko‘phadning barcha koeffitsiyentlar m ga bo‘linsa, taqqoslama ayniy taqqoslama bo‘ladi.
2. Birinchi darajasi taqqoslamani hamma vaqt
(2)
ko‘rinishga keltirish mumkin. Shuning uchun ham biz (2) ni tekshiramiz. Avvalo faraz etaylik (a,m)=1, bo‘lsin. U holda bo‘yicha chegiralarning to‘la sistemasi qabul qilsa ах ham shu sistemasi qabul qiladi. Shuning uchun ham х ning faqat birta х=х₁ qiymatida ах soni в tegishli bo‘lgan sinfga qarashli bo‘ladi. Shu qiymatda ga ega bo‘lamiz. Shunday qilib, agar (a,m)=1 bo‘lsa, (2) taqqoslama bitta (yagona) yechimga ega bo‘lar ekan.