R(n)- funksiya va uning xossalari

3-misol. taqqoslamani yeching.
Bu yerda (5,8)=1 va 8 –moduli bo‘yicha chegirmalarning to‘la sistemasi . Bularni qo‘yib tekshirib berilgan taqqoslamani yechimi ekanligini aniqlaymiz.
Endi, faraz etaylik bo‘lsin. Bu holda agar b soni d ga bo‘linsa deb olib (2) dan

taqqoslamani hosil qilamiz. Bu (3) taqqoslama esa yuqorida qarab chiqilgan holga ko‘ra yagona yechim ga ega bo‘ladi. Biz m moduli bo‘yicha (m=m₁·d) (2) taqqoslamaning yechimlarini topishimiz kerak. Buning uchun (3) ning yechimlari

modul bo‘yicha nechta har xil sinfga tegishli ekanligini aniqlashimiz kerak. Tushunarli (4) dagi sonlar d ta sinfga tegishli bu sinflar sifatida

olish mumkin. Demak (2) ning bu holda d ta yechimiga ega bo‘lamiz.
Agarda (а,m)=d>1 bo‘lib b soni d ga bo‘linmasa , u holda (2)-taqqoslama birorta ham yechimga ega emas.Chunki bu holda (2) dan yoki tenglikga ega bo‘lamiz. b soni d ga bo‘linmaganligi uchun bu tenglikning bajarilishi mumkin emas.
Shunday qilib biz quyidagi teoremani isbotladik.
Teorema. 1). Agar (a,m)=1 bo‘lsa u holda (2) taqqoslama yagona yechimga ega;
2) Agarda (а,m)=d>1 va db bo‘lsa, u holda (2) taqqoslama d ta yechimga ega;
3) Agarda (а,m)=d>1 bo‘lib b soni d ga bo‘linmasa bo‘lsa, u holda (2) –taqqoslama birorta ham yechimga ega emas.
3. (2)-taqqoslamaning yechimini topish uchun yuqorida qarab chiqilgan tanlash usulini qo‘llash mumkin. Lekin bu usul m modul katta bo‘lsa, chegirmalar sinflari son ko‘p bo‘lgan uchun amaliy jihatdan noqulaydir. (2)-taqqoslamani yechishning yana bir usuli bu taqqoslamalarning xossalaridan foydalanib koeffitsiyentlarini almashtirish usulidir.
Misolarga murojaat etaylik.
4-misol. taqqoslamani yeching.
(5,8)қ1 bo‘lganli uchun bu taqqoslama yagona yechimga ega. Taqqoslamaning istalgan tomoniga modulga karrali sonni qo‘shish yoki ayirish mumkin:
.
Taqqoslamaning ikkala tomonini modul bilan o‘zaro tub songa qisqartirish mumkin bo‘lgani uchun .