S. F. Amirov, M. S. Yoqubov, N. G’. Jabborov elektrotexnikaning nazariy asoslari

2.8. Sinusoidal tok zanjirlarini kompleks usulida hisoblash 

Sinusoidal

tok
zanjirlarini
kompleks
usulda
hisoblashni
amerikalik olim I. Shteynmets 1894 yilda ishlab chiqqan. Bu usul
bilan hisoblashning asosida sinusoidal tok zanjiri uchun tuzilgan
differensial tenglamalarni algebraik tenglamalar bilan almashlash
yotadi. Bunda tok va kuchlanishlarning oniy qiymatlari ularning
kompleks tasvirlari bilan almashtiriladi, ya'ni vaqt funksiyasidagi

ELEKTROTEXNIKANING NAZARIY ASOSLARI

95
integro-differensial tenglamalardan kompleks shaklda yozilgan va

vaqt kattaligi istisno qilingan algebraik tenglamalar hosil qilinadi. Bu
esa, tabiiyki zanjirlarni hisoblashni ancha soddalashtiradi.

2.8.1. Sinusoidal kattaliklarni kompleks tekislikda vektorlar 
bilan tasvirlash 

Ma'lumki har qanday kompleks son haqiqiy va mavhum

qismlardan iborat. 2.16-rasmda kompleks tekislik keltirilgan.
Abssissa o'qi haqiqiy sonlar o'qi, ordinata o'qi esa mavhum sonlar o'qi
hisoblanadi. Kompleks tekislikda haqiqiy sonlar o'qi
+1
belgi bilan,
mavhum sonlar o'q esa
)
1
(



j
j

bilan belgilanadi. Agar

kompleks tekislikda abssissa o'qiga kompleks sonning haqiqiy
qismini, ordinata o'qiga esa mavhum qismini joylashtirsak, u holda
kompleks son tekislikda bir nuqtani ifodalaydi. Eyler formulasiga
binoan
.
sin
cos



j
е
j



Kompleks son


j
е

kompleks tekislikda

vektor ko'rinishda tasvirlanadi, uning amplitudasi
1
ga teng va

burchakning musbat yo'nalishi haqiqiy sonlar o'qi
(+1)
ga
nisbatan
soat
miliga
teskari
yo'nalishda
hisoblanadi.


j

е

funksiyaning moduli birga teng:

.
1
sin
cos
2
2






j
е


j

е

funksiya vektorining haqiqiy o'qqa proyeksiyasi


cos

ga
teng, mavhum o'qqa proyeksiyasi esa


sin

ga teng. Agar funksiya

o'rniga

j
m
e
I

funksiyasini olsak, u holda




sin
cos
jI
I
Ie
j



(2.3) ifoda hosil bo'ladi.

Kompleks tekislikda bu funksiyaning
(+1)
o'qiga nisbatan
burchagi


ga teng, faqat vektorning uzunligi

I
m
marta kattadir.
(2.3) formuladagi


burchak qiymati har xil bo'lishi mumkin.

Masalan,
i
t






(2.16-rasm, b), ya'ni



burchak
t

vaqtga
proporsional o'zgarsa, u holda

ELEKTROTEXNIKANING NAZARIY ASOSLARI

96





i
m
i
m
t
j
m
m
t
jI
t
I
e
I
I
i












sin
cos
)
(
.




i
m
t
I



cos

tashkil etuvchi

)
(
i
t
j
m
e
I




ifodaning haqiqiy

(Re)

qismi bo'lib, u quyidagicha ifodalanadi:

).
cos(
]
Re[
)
(
i
m
t
j
m
t
I
e
I
i











i
m
t
I



sin

tashkil etuvchi


j
m
e
I

ifodaning mavhum

m
I

qismi bo'lib, u quyidagicha yoziladi:

).
sin(
]
[
I
)
(
i
m
t
j
m
t
I
e
I
m
i








Shunday qilib, sinusoidal tokni

)
(
i
t
j
m
e
I
i





ko'rinishda yozish

mumkin. Bu aylanuvchi vektor
)
(
i
t
j
m
m
e
I
I

 

ni
+j
o'qiga
proyeksiyasidir. Kompleks tekislikda sinusoidal kattaliklarni vektor
tasvirlarini
0

t


dagi holatini tasvirlash qabul qilingan. Bu holda

)
(
i
t
j
m
m
e
I
I

 


vektor
0


t


bo'lganda quyidagicha ifodalanadi:

.
m
j
m
I
e
I
i



m
I

-kompleks tok, uning moduli
I
m
ga, argumenti esa vektorni
haqiqiy sonlar o'qiga nisbatan hosil qilgan burchagi (boshlang'ich
faza
i

) ga teng bo'ladi (2.16-rasm, v).