Samarqand davlat universteti

2. Irratsional tengsizlik va ularni yechish.

1-misol: 2(x-1)< tengsizlikni yeching.

Yechish:
Chet ildiz hosil bo’lmasligi uchun bunday mulohaza yuritamiz:
a) x<1 da chap tomon manfiy; o’ng tomon manfiy emas. Demak,
b) x 1 da chap va o’ng tomonlar musbat. 4x²-8x+4<4x²+23x+15; . Bu holda yechim yo’q.
Javob:

2-misol: x³+x²+2 >4 tengsizlikni yeching.

Yechish: f(x)= x³+x²+2 -4 funksiya [0; ) oraliqda o’suvchi va aniqlangan bo’lib, f(1)=0 bo’lganidan x>1 bo’ladi. Demak, yechim (1; ) oraliqdan iborat.
3-misol. (x-4) tengsizlikni yeching.
Yechish: Bu tengsizlikni yechish unga teng kuchli bo’lgan

sistemani yechish bilan bog’liq.
Demak, yechim {(- ;4] (- ;-2] [1; )}=(- ;-2] [1;4]
Yuqoridagilardan ba’zan irratsional tengsizliklarni yechish tengsizliklar sistemasini yechish bilan ekvivalent bo’lishi mumkinligi ko’rinadi.

IRRATSIONAL TENGSIZLIKLAR.

Sakkiz yillik maktablarda irratsional tengsizliklar ham irratsional tenglamalar singari o’ziga mos funksiya xossasini o’rganish prossesida o’rganiladi. Demak, irratsional tengsizliklar y=∜x funksiyaning xossasini o’rganishga asoslanadi. Faqat ∜x≷c (c-ixtiyoriy son) ko’rinishdagi tengsizlik o’rganilib, uning yechimi irratsional tenglama yechimi bilan birga o’rganiladi. Masalan,

∛x=2; ∛x>2; ∛x<2
∜x=3; ∜x>3; ∜x<3
Topshiriqda ∛x=2 da x=8 bo’ladi, y=∛8 funksiyasi o’suvchi va x ning har qanday qiymatida aniqlanganligidan foydalanib (∛x>2) dan x>8, (∛x<2) dan 8>x kelib chiqadi.
Demak, birinchi tengsizlik uchun (8,+∞) oraliqdagi ikkinchisi uchun (-∞,8) oraliqdagi qiymatlar toplami javob bo’ladi.
Topshiriqda ∜x=3 dan x=81 bo’ladi.
So’ngra y=∜x funksiyani aniqlanish soxasi va o’suvchiligini hisobga olib, quydagini yozish mumkin
(∜x>3) dan x>81,
(∜x<3) dan x<81
Birinchi tengsizlik uchun (81,+∞) , ikkinchisi uchun (-∞,81) oraliqdagi qiymatlar javob bo’ladi.
Кўпайтувчиларга ажратиш усули тенглама ва тенгсизликларни ечишнинг умумий усулларидан биридир. Табиийки, у иррационал тенглама ва тенгсизликларни ечишда ҳам қўлланёкиши мумкин. Бу усулни қўллаш учун барча ҳадларни бир томонга ўтказиш(кўпроқ чап томонга) ,иккинчи томонини эса нол қёкиб қолдириш лозим. Сўнгра кўпайтувчиларга ажратилади. Эслатиб ўтамиз, кўпайтувчиларга ажратиш учун умумий кўпатувчини қавсдан ташқарига чиқариш, гуруҳлаш усули, қисқа кўпайтирш формулалари қўлланилади. Кейин қуйидаги умумий хулосадан фойдаланилади