Samarqand davlat univesiteti mexanika -matematika fakulteti

24-tarif. 

  Evklid  fazosi 

  normaga  nisbatan  to‘la  bo‘lsa,  u  to‘la 

Evklid fazosi deyiladi 

25-ta’rif. Cheksiz o‘lchamli to‘la Evklid fazosi Hilbert fazosi deyiladi. 

26-ta’rif.  Agar 

R

  va 

*

R

  Evklid  fazolari  o‘rtasida  o‘zaro  bir  qiymatli  moslik 

o‘rnatish mumkin bo‘lib, 

*

R

*

y

*,

x

,

R

y

,

x

*,

y

y

*,

x

x









 

ekanligidan 

  



*

*,

,

*

*,

*

y

x

y

x

va

x

x

y

x

y

x















 

munosabatlar kelib chiqsa, 

R

 va 

*

R

 lar izomorf fazolar deyiladi 

Misol. 

]

,

[

2

b

a

C

 Evklid fazosi to‘la emas , shuning uchun 

]

,

[

2

b

a

C

 Hilbert fazosi 

bo‘la olmaydi. 

Misol. 

2

  va 

]

,

[

2

b

a

L

 lar cheksiz o‘lchamli to‘la separabel Evklid fazolaridir.  

Shuning uchun ular Hilbert fazolari bo‘ladi. 

Boshqacha aytganda, Evklid fazolarining izomorfligi shundan iboratki, bu fazolar 

o‘rtasida o‘zaro bir qiymatli moslik mavjud bo‘lib, bu moslik shu fazolardagi chiziqli 

amallarni va ulardagi skalyar ko‘paytmani saqlaydi. 

L

L

L



p

;

0

)

,

(

;

,

0

)

,

(















x

x

x

p

L

x

x

x

p

;

,

),

,

(

)

,

(

L

y

x

x

y

p

y

x

p







L

y

x

R

y

x

p

y

x

p











,

,

),

,

(

)

,

(







L

y

x

x

y

x

p

y

x

p

y

x

x

p











,

,

),

,

(

)

,

(

)

,

(

2

1

2

1

2

1

y

x,

)

,

(

y

x

x

 

x

x

x

,



 

y

x

y

x





,

E

 

x

x

x

,



13 

 

Ma’lumki, 

n

 - o‘lchamli ixtiyoriy ikkita Evklid fazosi o‘zaro izomorfdir. Cheksiz 

o‘lchamli Evklid fazolari o‘zaro izomorf bo‘lishi shart emas. Masalan 

2

  va 

]

,

[

2

b

a

C

 

fazolar izomorf emas, chunki 

2

  to‘la, 

]

,

[

2

b

a

C

 esa to‘la emas. 

 

 

 

 Chiziqli uzluksiz operatorlar 

Biz  asosan  chiziqli  operatorlarni  qaraymiz.  Chiziqli  operatorlarning  aniqlanish 

sohasi  va  qiymatlar  to‘plami  chiziqli  normalangan  fazolarning  qism  fazolari  bo‘ladi. 

Shunday qilib, bizga 

X

 va 

Y

 chiziqli normalangan fazolar berilgan bo‘lsin. 

22-ta’rif. 

X

  fazodan  olingan  har  bir 

x

  elementga 

Y

  fazoning    yagona  y  

elementini mos qo‘yuvchi  





Y

y

X

x

y

Ax







,

 

akslantirish operator deyiladi.([4] ga q.) 

Umuman 

A

  operator 

X

  ning  hamma  yerida  aniqlangan  bo‘lishi  shart  emas.  Bu 

holda  Ax   mavjud  va   

Y

Ax



  bo‘lgan  barcha 

X

x



  lar  to‘plami 

A

  operatorning 

aniqlanish sohasi deyiladi va 

)

( A

D

 bilan belgilanadi, ya’ni: 

  



.

va

mavjud

:

Y

Ax

Ax

X

x

A

D









 

Agar    chiziqli 

A

  operator  qaralayotgan  bo‘lsa, 

)

( A

D

  ning  chiziqli  ko‘pxillilik 

bo‘lishi  talab  qilinadi,  ya’ni  agar 

 

A

D

y

x



,

  bo‘lsa,  u  holda  ixtiyoriy 

C







,

  lar 

uchun 

 

A

D

y

x









. 

23-ta’rif.  Agar  ixtiyoriy 

 

X

A

D

y

x





,

  elementlar  va  ixtiyoriy 

C







,

  sonlar 

uchun 

y

A

x

A

y

x

A















)

(

 

tenglik o‘rinli bo‘lsa, 

A

 ga chiziqli operator deyiladi. 

24-ta’rif.  Bizga 

Y

X

A



:

  operator  va 

 

A

D

x



0

  nuqta  berilgan    bo‘lsin.  Agar 

Y

Ax

y





0

0

 ning ixtiyoriy  V  atrofi uchun,  

0

x

  nuqtaning shunday  U  atrofi mavjud 

bo‘lib,  ixtiyoriy 

 

A

D

U

x





  lar  uchun 

V

Ax



  bo‘lsa, 

A

  operator 

0

x

x



  nuqtada 

uzluksiz deyiladi. 

14 

 

25-ta’rif. Agar ixtiyoriy 

0





 uchun shunday 

 

0











 mavjud bo‘lib,  







0

x

x

    tengsizlikni  qanoatlantiruvchi  barcha   

 

A

D

x



    lar  uchun 







0

Ax

Ax

 tengsizlik bajarilsa, 

A

 operator 

0

x

x



 nuqtada uzluksiz  deyiladi. 

26-ta’rif.  Agar 

0

x

  nuqtaga  yaqinlashuvchi  ixtiyoriy 

n

x

  ketma-ketlik  uchun 

0

0





x

A

x

A

n

 bo‘lsa, u holda 

A

 operator 

0

x

 nuqtada uzluksiz deyiladi. 

27-ta’rif. 

Y

X

A



:

  chiziqli  operator  bo‘lsin.  Agar  shunday 

0



C

  son  mavjud 

bo‘lib, ixtiyoriy 

 

A

D

x



 uchun 

x

C

x

A





                             (11) 

tengsizlik bajarilsa, 

A

 chegaralangan operator deyiladi. 

28-ta’rif.  (11)  tengsizlikni  qanoatlantiruvchi  C   sonlar  to‘plamining  aniq  quyi 

chegarasi 

A

 operatorning normasi deyiladi, va u 

A

 bilan belgilanadi, ya’ni 

.

inf C

A



 

Bu  ta’rifdan    ixtiyoriy   

 

A

D

x



    uchun 

x

A

x

A





  tengsizlik  o‘rinli 

ekanligi kelib chiqadi. 

3-natija. Ixtiyoriy 

A



)

,

(

Y

X

L

  va  

 

A

D

x



, 

1



x

 uchun 

                                            

A

x

A



                          (12)          tengsizlik o‘rinli. 

29-ta’rif. 

Y

X

A



:

  va 

Y

X

B



:

  chiziqli  operatorlarning  yig‘indisi  deb, 

)

(

)

(

B

D

A

D

x





  elementga 

Y

Bx

Ax

y







  elementni  mos  qo‘yuvchi 

B

A

C





operatorga aytiladi. 

Ravshanki,  C   chiziqli operator bo‘ladi. Agar 

B

A,



)

,

(

Y

X

L

  bo‘lsa, u holda    C  

ham chegaralangan operator bo‘ladi  va 

B

A

B

A

C









                 (13) 

tengsizlik o‘rinli. Haqiqatan ham, 





x

B

A

x

B

x

A

x

B

x

A

x

B

x

A

x

C





















. 

Bu yerdan (13) tengsizlik kelib chiqadi. 

30-ta’rif. 

A

  chiziqli  operatorning 



  songa  ko‘paytmasi 

x

  elementga 

Ax



 

elementni mos qo‘yuvchi operator sifatida aniqlanadi, ya’ni 

15 

 

  

Ax

x

A







. 

31-ta’rif. 

Y

X

A



:

 va 

Z

Y

B



:

 chiziqli operatorlar berilgan bo‘lib 

)

(

)

(

B

D

A

R



 bo‘lsin. 

B

 va 

A

 operatorlarning ko‘paytmasi deganda, har bir

 

)

(A

D

x



  ga 

Z

  fazoning 

)

(Ax

B

z



  elementini  mos  qo‘yuvchi 

Z

X

BA

C





:

 

operator tushuniladi. 

Agar 

A

  va 

B

  lar  chiziqli  chegaralangan  operatorlar  bo‘lsa,  u  holda  C   ham 

chiziqli chegaralangan operator bo‘ladi va 

A

B

C





   

 (14) 

tengsizlik o‘rinli. Haqiqatan ham, 

 

X

Y

Z

Z

x

A

B

x

A

B

x

A

B

x

C













. 

Bu yerdan (14) tengsizlik kelib chiqadi. 

Operatorlarni qo‘shish va ko‘paytirish assotsiativdir. Qo‘shish amali kommutativ, 

lekin ko‘paytirish amali kommutativ emas. 

Agar 

X

  va 

Y

  lar  chiziqli  normalangan  fazolar  bo‘lsa, 

)

,

(

Y

X

L

  ham  chiziqli 

normalangan fazo bo‘ladi, ya’ni 

R

Y

X

L

p



)

,

(

:

, 

 

x

A

A

p

x

1





sup

 

funksional normaning 1-3 - shartlarini qanoatlantiradi. 

1-teorema. 

X

 normalangan fazoni 

Y

 normalangan fazoga akslantiruvchi  

:

A

X



Y

  chiziqli  operator  berilgan  bo‘lsin.  U  holda  quyidagi  tasdiqlar  teng 

kuchli: 

1) 

A

 operator biror 

0

x

 nuqtada uzluksiz; 

2) 

A

 operator uzluksiz; 

3) 

A

 operator chegaralangan. 

4-natija. 

A

 chiziqli operator chegaralangan bo‘lishi uchun uning uzluksiz bo‘lishi 

zarur va yetarli. 

2-teorema. 

X

 normalangan fazoni 

Y

 normalangan fazoga akslantiruvchi chiziqli 

chegaralangan 

A

 operatorning normasi 

A

 uchun 

16 

 

x

x

A

x

A

A

x

x











sup

sup

1

                      (15) 

tenglik o‘rinli. 

Bu mavzuda biz chiziqli uzluksiz (chegaralangan) operatorlar fazosi 

)

,

(

Y

X

L

 ning 

to‘laligi haqidagi teoremani isbotlaymiz. Operatorlar ketma-ketligining  kuchsiz, kuchli 

(nuqtali) va tekis (norma bo‘yicha) yaqinlashish ta’riflarini beramiz. Ularni misollarda 

tahlil qilamiz. 

32-ta’rif.  Agar 





Y

X

L

A

n

,

}

{



  operatorlar  ketma-ketligi  uchun  shunday 





Y

X

L

A

,



  operator  mavjud  bo‘lib, 









n

A

A

n

,

0

  bo‘lsa, 

}

{

n

A

  operatorlar 

ketma-ketligi 

A

  operatorga  norma  bo‘yicha  yoki  tekis  yaqinlashadi  deyiladi  va 

A

A

u

n





 shaklda belgilanadi. 

33-ta’rif. Agar ixtiyoriy 

X

x



 uchun 

0





x

A

x

A

n

 bo‘lsa, 

}

{

n

A

 operatorlar  

ketma-ketligi 

A

 operatorga kuchli yoki nuqtali yaqinlashadi deyiladi va 

A

A

s

n





  

shaklda belgilanadi. 

34-ta’rif. Agar ixtiyoriy 

*

Y

f



 va ixtiyoriy 

X

x



 uchun 

 

 

x

A

f

x

A

f

n



 bo‘lsa, 

}

{

n

A

  operatorlar  ketma-ketligi 

A

  operatorga  kuchsiz  yoki  kuchsiz  ma’noda  (

A

A

w

n





) yaqinlashuvchi deyiladi. 

34-ta’rif Hilbert fazosida quyidagicha bo‘ladi. 

35-ta’rif.  Agar  ixtiyoriy 

H

y

x



,

  uchun 



 



y

x

A

y

x

A

n

,

,



  bo‘lsa, 

}

{

n

A

 

operatorlar ketma-ketligi 

A

 operatorga kuchsiz yaqinlashuvchi deyiladi. 

3-teorema.  Agar 

Y

  to‘la  fazo  bo‘lsa,  u  holda 

)

,

(

Y

X

L

  fazo  ham  to‘la,  ya’ni 

Banax fazosi bo‘ladi. 

Agar operatorning qiymatlari sonlardan iborat bo‘lsa, bunday  operator funksional 

deyiladi.  Agar 

X

  chiziqli  fazoda  aniqlangan 

f

  funksional  uchun  quyidagi  shartlar 

bajarilsa 

1) 



    

X

x

x

x

f

x

f

x

x

f











2

1

2

1

2

1

,

,

;     additivlik 

2) 

 

 





,

,

,

f

x

f x

x

X

yoki









 

 