Samarqand davlat univesiteti mexanika -matematika fakulteti

Akslantirishning ochiqlik prinsipi

bet	7/7
Sana	05.06.2020
Hajmi	0.93 Mb.
	#115189

1 2 3 4 5 6 7

Bog'liq
funksional analizning asosiy prinsiplari

Teoremaning isboti.

2.4 Akslantirishning ochiqlik prinsipi

Teorema: X-Banax fazosini Y-Banax fazosiga chiziqli uzluksiz akslantirishda har

bir ochiq to’plamning obrazi yana ochiq tuplam bo’ladi, yani X,Y Banax fazolari

berilgan bo’lsin. A chiziqli uzluksiz akslantirish va

, ochiq to’plam

bo’lsa, u holda AU=

to’plam ham ochiq bo’ladi. ([2] ga q.)

Ushbu prinsipning natijalari sifatida quyidagi teoremalarni keltirish mumkin:

Teorema. X chiziqli normalangan fazoda

normalar berilgan

bo’lsin va

≤c

shart bajarilsin. Agar X fazo ikkita norma bo’yicha ham to’la

(Banax fazo) bo’lsa, u holda

≤c`

tengsizlik ham bajariladi va

normalar ekvivalent normalar bo’ladi, ya’ni

, barcha x

Teorema.  (Teskari  operator  haqida  Banax  teoremasi).

A

  operator

X

  Banax

fazosini

Y

  Banax  fazosiga  biyektiv  akslantiruvchi  chiziqli  chegaralangan  operator

bo‘lsin. U holda



A

operator mavjud va chegaralangan.

Teoremani isbotlashdan oldin quyidagi lemmani isbotlaymiz.

Lemma.

M

to‘plam

X

Banax fazosining hamma yerida zich bo‘lsin. U holda

ixtiyoriy nolmas

X

y



elementni











n

y

y

y

y

qatorga yoyish mumkin. Bu yerda

M

y

k



,

3 2

,

.

k

k

y

y

k



 





N

Isbot.



y

y

elementlarni ketma-ket quramiz.

to‘plam

Banax fazosining

hamma yerida zich bo‘lgani uchun, shunday

M

y



mavjudki,

y

y

y





bo‘ladi.

M

y



elementni shunday tanlaymizki,

1

y

y

y

y





bo‘lsin. Endi

M

y



elementni shunday tanlaymizki,

1

y

y

y

y

y





bajarilsin. Umuman

M

y

n



elementni shunday tanlaymizki,

n

n

y

y

y

y

y

y

 



 



bo‘lsin. Bunday tanlash mumkin, chunki

to‘plam

ning hamma yerida zich.

M

y

n



elementlarning tanlanishiga ko‘ra





n

lim

0

1









n

k

k

y

y

ya’ni







1

k

k

y

qator yaqinlashadi va uning yig‘indisi y ga teng. Endi

M

y

n



elementlarning

normalarini baholaymiz:

1

y

y

y

y

y

y

y

y

y

y



















4

y

y

y

y

y

y

y

y

y

y

y

y

y

y



























va nihoyat















1

n

n

n

n

y

y

y

y

y

y

y

y



n

n

n

n

n

n

y

y

y

y

y

y

y

y

y

y





















. ∆

Teoremaning isboti.

A

biyektiv akslantirish bo‘lganligi uchun



A

operator

mavjud va

Y

A

D





)

(

. Endi

Y

fazoda

















k

y

k

y

A

Y

y

M

k

to‘plamlarni qaraymiz.

fazoning ixtiyoriy elementi

k

M

to‘plamlarning birortasida

yotadi. Shuning uchun







k

k

M

Y

Ber teoremasiga ko‘ra,

k

M

to‘plamlarning birortasi qandaydir



B

Y

sharda zich

bo‘ladi. Faraz qilaylik,

n

M

to‘plam

sharda zich bo‘lsin.

shar ichida sharsimon

qatlam olamiz, ya’ni

}

{

0

n

M

y

y

z

B

z

P





















qatlamni markazi nolda bo‘ladigan qilib parallel ko‘chiramiz va

}

{











z

Y

z

P

sharsimon qatlamga ega bo‘lamiz. Birorta

0

n



N

uchun

0

n

to‘plam

0

P

da zich

bo‘lishini ko‘rsatamiz. Agar

n

M

P

z





bo‘lsa, u holda

P

y

z





bo‘ladi. Bundan

tashqari























1

y

n

z

n

y

A

z

A

y

A

z

A

y

z

A

)

(



 



































2

y

z

y

y

z

n

y

y

z

n

y

y

y

z

n























y

y

z

n

. (2.17)

Ma’lumki,

















y

n

miqdor

ga bog‘liq emas va biz































y

n

n

deb olamiz. U holda (2.17) ga ko‘ra,

0

n

M

y

z





bo‘ladi.

n

M

to‘plamning

qatlamda

zich ekanligidan

0

n

to‘plamning

0

P

qatlamda zich ekanligi kelib chiqadi. Endi

dan ixtiyoriy nolmas y element olamiz. Shunday



son mavjudki,











y

tengsizlik o‘rinli, ya’ni

0

P

y





bo‘ladi.

0

n

to‘plam

0

P

qatlamda zich bo‘lgani

uchun

y



ga yaqinlashuvchi

0

n

k

M

y



ketma-ketlik qurish mumkin. U holda

y

y

k





. Ravshanki,

0

n

k

M

y



bo‘lsa, u holda ixtiyoriy





uchun

0

n

k

M

y





bo‘ladi. Shunday qilib,

0

n

M

to‘plam

}

0

{

\

Y

da zich va demak,

ning o‘zida ham zich.

Endi ixtiyoriy nolmas

Y

y



elementni olamiz va yuqoridagi lemmaga ko‘ra

0

n

M

to‘plamning elementlari orqali qatorga yoyamiz:

1

N

k

y

y

y

y

y

y

k

k

n















fazoda

k

k

y

A

x





elementlardan tuzilgan qatorni qaraymiz:

















.

k

k

n

k

k

y

A

x

x

x

x



(2.18)

Bu qator qandaydir

X

x



elementga yaqinlashadi, chunki

k

k

k

k

y

n

y

n

y

A

x







y

n

y

n

x

x

x

k

k

k

k

k

k





















(2.18) qatorning yaqinlashuvchiligidan va

A

ning uzluksizligidan

lim

lim

y

y

x

A

x

A

x

A

x

A

k

k

k

k

n

k

k

n

n

k

k

n



















































Bu yerdan

y

A

x





ekanligi kelib chiqadi. Bundan tashqari

y

n

x

y

A







Bu yerdan

3 n







tengsizlik kelib chiqadi. Shunday qilib,



A

operatorning chegaralangan ekanligi

isbotlandi. ∆

Misol.

opereratorning chegaralangan teskarisi

mavjudmi.

Yechish. Ma’lumki

Banax fazosi bo’ladi. Ushbu operator

ga biyektiv

akslantiradi. Shuning uchun teskari operator mavjudligi haqidagi Banax teoremasiga

ko’ra ushbu operatorning teskarisini topamiz:

tenglamadan

nitopamiz. Uning yechimi

dan iborat. Shunday

qilib, teskari operator

tenglik bilan aniqlanar ekan.

Xulosa

Mazkur bitiruv malakaviy ishida funksional analizning asosiy prinsiplari bo’lgan

siquvchi akslantirishlar prinsipi, tekis chegaralanganlik prinsipi, chiziqli funsionalning

davom etuvchanlik prinsipi va akslantirishning ochiqlik prinsiplari keltirilgan va bu

prinsiplarda kelib chiqadigan natija va teoremalar isbotlangan, bu prinsiplarning

tadbiqlariga oid misollar keltirilgan. Ishda o’rganilgan prinsiplar, misol va masalalar

katta ham amaliy ham nazariy ahamiyatga ega.

Bitiruv malakaviy ishi kirish qismi, ikki bob, xulosa va foydalanilgan adabiyotlar

ro’yxatidan iborat bo’lib, birinchi bobda asosiy prinsiplarni yoritib berish uchun kerak

bo’ladigan ta’rif va teoremalar keltirilgan. Ikkinchi bobda yuqoridagi to’rtta funksional

analizning asosiy prinsiplari ko’rsatilgan va ularning natijalari bo’lgan teoremalar isboti

bilan keltirilgan. Ishda keltirilgan misollar kompleks analiz va funksional analiz

fanlarini o’rganishda qo’llanilishi mumkin.

Foydalanilgan adabiyotlar ro’yxati:

1. J.I. Abdullayev, R.N. G‘anixo‘jayev, M.H. Shermatov, O.I. Egamberdiyev.

«Funksional analiz». SamDU. 2013

2. N.D. Kopochevskiy “Fuksional analiz”. Uchibnoe posobie. Simferonol. 2008’

3. Sarimsoqov T.A. Haqiqiy o‘zgaruvchining funksiyalari nazariyasi. Toshkent:

Fan. 1994.

4. Sh.A. Ayupov, M.A. Berdiqulov, R.M. Turg‘unboyev. Funksional analiz.

Toshkent. 2008.

5. J.I. Abdullayev, R.N. G‘anixo‘jayev, M.H. Shermatov, O.I. Egamberdiyev.

«Funksional

analiz».

O‘quv

qo‘llanma.

Toshkent-

Samarqand.

SamVPKQTMI . 2009.

6. J.I. Abdullayev, R.N. G‘anixo‘jayev, I.A.Ikromov. «Funksional analizdan