Samarqand davlat univesiteti mexanika -matematika fakulteti

Misol.  Quyida  berilgan 

 

 

   

 

   

 

     

 

      

 

   

 

       

 

                 operatorlar 

ketma-ketligi Banax- Shteynxaus teoremasi shartlarini qanoatlantiradimi? 

Yechish. 

 

 

   

 

   

 

  operatorlar  ketma-ketligi  Banax-Shteynxaus  teoremasi 

shartlarini  qanoatlantiradi.  Haqiqatdan  ham,  X=

 

 

va  Y=

 

 

  lar  Banax  fazolari. 

 

 

  ning 

chegaralangan  ekanligi  oson  tekshiriladi.  Har  bir 

     

 

  nuqtada   

 

 

    chegaralangan 

ekanligi 

27 

 

  

 

       

  

 

 

 

 

   

 

    

  

 

 

 

 

   

         

 

 

munosabatdan kelib chiqadi. 

 

 

 

2.3 Chiziqli funksionalning davom etuvchanlik prinsipi. 

 

1-teorema.  (Xan-Banax).  Aytaylik, 

  - 

  haqiqiy  chiziqli  fazoda  aniqlangan 

qavariq  funksional  va 

  - 

  ning  qism  fazosi  bo‘lsin.  Agar 

  da  aniqlangan 

  

chiziqli funksional 

        

                                 (2.11) 

shartni  qanoatlantirsa,  u  holda 

  ni 

  da  aniqlangan  va 

  da  (2.11)  shartni 

qanoatlantiruvchi  

 chiziqli funksionalgacha davom ettirish mumkin. 

Isbot. 

 bo‘lgan holda 

 chiziqli funksionalni 

 dan kengroq bo‘lgan 

 

qism  fazogacha  (2.1)  shartni  saqlagan  holda  chiziqli  davom  ettirish  mumkinligini 

ko‘rsatamiz. 

 ga qarashli bo‘lmagan ixtiyoriy 

 elementni olamiz. 

 bilan 

 

va 

  elementlardan  tashkil  topgan  qism  fazoni  belgilaymiz. 

  quyidagicha 

ko‘rinishdagi elementlardan tashkil topgan 

 

Agar 

 funksional 

 ning 

 qism fazogacha chiziqli davomi bo‘lsa, u holda 

, 

yoki 

 deb olsak, 

 

tenglik  o‘rinli  bo‘ladi.  Endi    ni  shunday  tanlaymizki, 

  funksional  (2.11)  shartni 

qanoatlantirsin, ya’ni 

     

 

  (2.12) 

tengsizlik bajarilsin. Agar 

 bo‘lsa, (2.2) shart quyidagi shartga teng kuchli: 

   yoki   

, 

  bo‘lsa, 

  yoki  

. 

Bu ikkala shartni qanoatlantiruvchi   son har doim mavjudligini ko‘rsatamiz. 

  

p

L

0

L

L

0

L

0

f

   

0

0

,

L

x

x

p

x

f





0

f

L

L

f

L

L



0

0

f

0

L

)

1

(

L

0

L

L

z



)

1

(

L

0

L

z

)

1

(

L

)

1

(

0

}

,

,

{

L

L

x

R

t

x

tz









1

f

0

f

)

1

(

L





 

 

 

 

x

f

z

f

t

x

f

z

t

f

x

z

t

f

0

1

1

1

1











 

c

z

f



1





 

x

f

c

t

x

z

t

f

0

1







c

1

f





 





x

z

t

p

x

f

c

t

x

z

t

f











0

1

0



t











 

















t

x

z

p

t

x

f

c

0

























 



t

x

f

t

x

z

p

c

0

0



t



































t

x

z

p

t

x

f

c

0



































t

x

f

t

x

z

p

c

0

c

0

L

28 

 

qism fazodan olingan ixtiyoriy 

 va 

 elementlar uchun 

                   (2.13) 

tengsizlik  o‘rinli.  Haqiqatan  ham,  bu  tengsizlik  quyidagi  tengsizlikdan  bevosita  kelib 

chiqadi: 

 

. 

Endi 

 

deb  olamiz.  (2.13)  tengsizlik  ixtiyoriy 

  va 

  lar  uchun  o‘rinli  bo‘lganidan 

 

ekanligi  kelib  chiqadi.  Agar    sonini 

qo‘sh tengsizlikni qanoatlantiradigan 

qilib tanlasak, u holda 

 

formula bilan aniqlangan 

 funksional chiziqli va (2.1) shartni qanoatlantiradi. 

Shunday  qilib,  biz 

  funksionalni 

  qism  fazodan  undan  kengroq  bo‘lgan 

 

qism fazogacha (2.11) shartni saqlagan holda chiziqli davom ettirdik. 

Agar 

  chiziqli  fazoda  sanoqlita 

  elementlar  sistemasi  mavjud 

bo‘lib, bu sistemani saqlovchi 

 minimal qism fazo   ning o‘ziga teng bo‘lsa, u 

holda 

 funksionalni 

 

kengayib boruvchi qism fazolarda yuqoridagidek aniqlab, 

 funksionalni   fazogacha 

(2.11) shartni saqlagan holda davom ettirish mumkin. 

Agar  chiziqli  qobig‘i    ga  teng  bo‘ladigan  sanoqli  sistema  mavjud  bo‘lmasa,  u 

holda teoremaning isboti Sorn  lemmasi yordamida nihoyasiga etkaziladi. ∆ 

2-teorema. (Xan-Banax). 

E

 kompleks chiziqli normalangan fazo, 

0

E

  uning qism 

fazosi  va 

0

f

- 

0

E

  da  aniqlangan  chiziqli  uzluksiz  funksional  bo‘lsin.  U  holda 

0

f

  ni 

normasini saqlagan holda 

E

 da aniqlangan 

 chiziqli funksionalgacha davom ettirish 

mumkin, ya’ni 

          (*) 

shartlarni qanoatlantiruvchi  

C

E

f



:

  chiziqli  funksional mavjud. ([1] ga q.) 

Isbot.  Aytaylik, 

K

f

E



0

0

  bo‘lsin.  Norma  aksiomalaridan  bevosita  kelib 

chiqadiki,  barcha 

E

x



  larda 

x

K

x

p



)

(

  tenglik  bilan  aniqlanuvchi  akslantirish  

qavariq funksional bo‘ladi. Bundan tashqari ixtiyoriy 

0

E

x



 uchun 

y



y



  



  



z

y

p

y

f

z

y

p

y

f

















'

'

"

"

0

0

 

 



 















'

y

"

y

p

'

y

"

y

f

'

y

f

"

y

f

0

0

0



 





 

 



z

'

y

p

z

"

y

p

z

'

y

z

"

y

p





























)

'

(

)

'

(

sup

'

,

)

"

(

)

"

(

inf

"

0

'

0

"

z

y

p

y

f

c

z

y

p

y

f

c

y

y



















y



y



c

c







c

c

c

c













 

x

f

c

t

x

z

t

f

0

1







1

f

0

f

0

L

)

1

(

L

L





,

,

,

,

2

1

n

x

x

x

 





k

x

L

L

0

f

 

 



,

}

,

{

,

}

,

{

2

)

1

(

2

1

0

1

x

L

L

x

L

L





0

f

L

L

f

 

 

0

0

0

0

,

E

E

f

f

va

E

x

x

f

x

f







29 

 

 

 

x

p

x

K

x

f

x

f

E









0

0

0

 

tengsizlik o‘rinli. Shunday ekan, 

0

f

 1-teorema shartlarini qanoatlantiradi. U holda 

E

 da 

aniqlangan shunday 

f

 chiziqli funksional mavjudki, quyidagilar bajariladi: 

)

(

)

(

0

x

f

x

f



, 

0

E

x





,         

 

 

E

x

x

f

x

p

x

f











,

0

. 

Bu  yerdan 

f

  ning  chegaralanganligi  va 

0

f

f



  tengsizlik  kelib  chiqadi.  Ikkinchi 

tomondan, 

 

 

0

0

0 E

x

E

x

x

E

x

E

f

x

x

f

x

x

f

f



















,

,

sup

sup

. 

Demak, 

0

0

E

E

f

f



.  ∆ 

1-natija. 

X

  chiziqli  normalangan  fazo  va 





0

x

  undagi  ixtiyoriy  belgilangan 

element  bo‘lsin.  U  holda  butun 

  da  aniqlangan  shunday 

f

  chiziqli  funksional 

mavjudki,* 

1



f

,   

 

0

0

x

x

f



                    (2.14) 

tengliklar o‘rinli bo‘ladi. 

Isbot. 

f

  funksionalni  bir  o‘lchamli 

}

{

0

0

x

X





  qism  fazoda  quyidagicha 

aniqlaymiz: 

0

0

0

)

(

x

x

f







. 

Ko‘rinib turibdiki, 

 

0

0

0

0

0

0

x

x

x

x

x

f

x

x

f













,

,

)

(

. 

Bu yerdan 

.

1

0

0



E

f

  

0

f

 funksionalni butun 

X

 gacha chiziqli davom ettiramiz. Hosil 

bo‘lgan funksional (ⅩⅣ) shartlarni qanoatlantiruvchi funksional bo‘ladi.  ∆ 

Misol. 

 

1

,

1





C

L

 

uzluksiz 

funksiyalar 

fazosi 

va 

uning 





 









0

,

1

,

0

:

1

,

1

0













t

t

x

C

x

L

  qism  fazosini  qaraymiz. 

0

L

  qism  fazoda 

0

f

 

chiziqli funksionalni quyidagicha aniqlaymiz: 

 

 

0

1

1

0

,

L

x

dt

t

x

x

f









. 

0

f

 funksionalni normasini saqlagan holda davom ettiring. 

Yechish. 

0

f

 funksionalning normasini hisoblaymiz. Agar 

0

L

x



 bo‘lsa, u holda 

 

0

0

1







dt

t

x

 

bo‘ladi. Shuning uchun 

 

 

 

 

0

1

0

1

0

1

0

1

1

0

max

L

t

x

dt

t

x

dt

t

x

dt

t

x

x

f





















. 

X

30 

 

Demak, 

1

0



f

. 

Endi 

1

0



f

  tengsizlikni  ko‘rsatamiz.  Buning  uchun 

 

1

,

1



C

  fazoda  uzluksiz 

funksiyalarning 

 

































1

,

/

1

,

1

,

/

1

,

0

,

,

0

,

1

,

0

n

t

n

t

nt

t

t

x

n

 

ketma-ketligini qaraymiz. Bu ketma-ketlik uchun quyidagilar o‘rinli: 

0

,

1,

n

n

x

L

x

n





 

N

, 

 

 

n

dt

dt

t

x

x

f

n

n

n

1

1

1

1

1

0

0













.                         (2.15) 

(2.15) tengsizlikda 

n

 lar bo‘yicha aniq yuqori chegara olsak, 

 

1

1

1

sup

sup

1

0

1

0













 









n

x

f

f

n

n

n

 

tengsizlikka  ega  bo‘lamiz.  Bu  ikkala  tengsizlikdan 

1

0



f

  tenglikni  olamiz. 

Yo’qoridagi  misoldagi  kabi 

 

1

1,



C

  chiziqli  fazoda 





0

1

0

,

V

y

,

g

y





  funksionalni 

quyidagicha aniqlaymiz: 

 

 

L

x

dt

t

x

dt

t

y

t

x

x

g

y













,

)

(

)

(

1

0

0

1

. 

      (2.16) 

Ma’lumki,  istalgan 

 

0

1

0

,

V

y





  uchun 

y

g

  funksional 

0

f

  funksionalning 

 

1

1,



C

 

fazogacha  davomi  bo‘ladi. 

y

g

    funksional  uchun  Xan-Banax  teoremasining  tasdig‘i 

o‘rinlimi?  Boshqacha  aytganda 

y

g

f



0

  tenglik  qanday 

 

0

1

0

,

V

y





  lar  uchun 

o‘rinli? 

 

b

a

C ,

 fazodagi chiziqli uzluksiz funksionalning  umumiy ko’rinishi haqidagi F. 

Riss  -  2-teorema,  hamda  (2.16)  tenglikdan  foydalansak,  (2.16)  ko‘rinishdagi  davomlar 

ichida  yagona 

0

g

  funksional 

0

f

  funksionalning  normasini  saqlagan  holda 

 

1

,

1





C

L

 

fazogacha  davomi  bo‘ladi.   

0

f

  funksionalni  (*)  shartni  saqlagan  holda  cheksiz  ko‘p 

(kontinuum) usul bilan 

L

 fazogacha davom ettirish mumkin edi.