Самостоятельная работа по высшей математике Принял

Второе достаточное условие экстремума. Если первая производная дважды дифференцируемой функции в некоторой точке равна нулю, а вторая производная в этой точке положительна, то это точка минимума функции; а если вторая производная отрицательна, то это точка максимума.
Доказательство этого условия также основано на достаточном условии монотонности. В самом деле, если вторая производная положительна, то первая производная является возрастающей функцией. Поскольку в рассматриваемой точке она равна нулю, следовательно, при переходе через нее она меняет знак с минуса на плюс, что возвращает нас к первому достаточному условию локального минимума. Аналогично если вторая производная отрицательна, то первая убывает и меняет знак с плюса на минус, что является достаточным условием локального максимума.

Решение задач с помощью функций нескольких переменных в экономических областях.

Задача .Прибыль от производства разных видов продукции
Рассмотрим типичную задачу нахождения экстремума функции нескольких переменных, возникающую в экономике. Пусть  - количество производимых разновидностей продукции, а их цены – соответственно (все - постоянные величины). Пусть затраты на производство этих видов продукции задаются функцией издержек

Тогда функция прибыли имеет вид

Максимум прибыли естественно искать как условие локального экстремума функции многих переменных при  (при отсутствии других ограничений)

Это условие приводит к системе алгебраических уравнений относительно переменных 

Эта система уравнений реализует известное правило экономики: предельная стоимость продукции равна предельным издержкам на производство этой продукции. Решениями этой системы уравнений являются наборы, состоящие из  значений каждый. Нужно заметить, что сам процесс нахождения системы уравнений зависит от вида функции издержек и может быть довольно сложным.
Пример. Производится два вида продукции, обозначим их через  и . Цены этой продукции, соответственно, и , а функция затрат . Тогда при , прибыль является функцией двух переменных:

Условия локального экстремума приводят к системе линейных алгебраических уравнений  решение которой определяет точку . Поскольку то найденная точка определяет локальный максимум функции прибыли, который равен
Задача.
Потребитель имеет возможность потратить сумму 1000 денежных единиц на приобретение  единиц первого товара и  единиц второго товара. Заданы функция полезности  и цены  ,  за единицу соответственно первого и второго товаров. Найти значения  , при которых полезность для потребителя будет наибольшей:

Решение.
Рассмотрим линии уровня функции полезности  т.е.  . Используя свойства лога­рифмов, имеем:

Таким образом, линии уровня представляют собой график функции
(кривая безразличия)
Легко видеть, что максимальное значение  , а следовательно, и уровня  достигается в том случае, если соответствующая кривая безразличия касается прямой (линии уровня затрат)  . Так как градиент в каждой точке перпендикулярен линии уровня, то из этого следует, что условие максимальности прибыли может быть сформулировано следующим образом:

Так как 
Где  угловой коэффициент прямой, проходящей через  .
Из условия перпендикулярности прямых имеем  , т.е.  . Следовательно, оптимальное распределение потребления товаров находится как решение системы:

Ответ - значения, при которых полезность для потребителя будет наибольшей.

1. 
   Высшая математика для экономических специальностей / Под ред. Кремера Н. Ш. – М.: Высшее образование, 2005.
   
2. 
   Вентцель, Е. С., Овчаров Л. А. Теория вероятностей: учеб.пособие /Е.С.Вентцель, Л.А.Овчаров. – М.: Высшая школа, 2006.- 575 с.
   
3. 
   Гмурман, В. Е. Теория вероятностей и математическая статистика: учеб.пособие / В.Е.Гмурман. – М.: Высшее образование, 2006.- 479 с.
   
4. 
   Вентцель Е. С., Овчаров Л. А. Задачи и упражнения по теории вероятностей. – М.: Высшая школа, 2006.
   
5. 
   Гмурман В. Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике. – М.: Высшая школа, 2004.
   
6. 
   Исследование операций в экономике / Под ред. Кремера Н. Ш. – М.: ЮНИТИ, 2006.
   
7. 
   Кремер,Н.Ш.Теория вероятностей и математическая статистика: учебник / В.Ш.Кремер.-М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2002. – 543 с.
   
8. 
   Практикум по высшей математике для экономистов / Под ред. Кремера Н. Ш. – М.: ЮНИТИ, 2005.