Самостоятельная работа по высшей математике Принял

Экстремумы функции.

Точка х₀называетсяточкой максимума(минимума) функцииf(х), если в некоторой окрестности точки х₀выполняется неравенствоf(х) ≤f(х₀) (f(х) ≥f(х₀)).
Значение функции в этой точке называется соответственно максимумомилиминимумомфункции. Максимум и минимум функции объединяются общим названиемэкстремумафункции.
Экстремум функции в этом смысле часто называют локальным экстремумом, подчеркивая тот факт, что это понятие связано лишь с достаточно малой окрестностью точки х₀. На одном и том же промежутке функция может иметь несколько локальных максимумов и минимумов, которые не обязательно совпадают сглобальным максимумомилиминимумом(т.е. наибольшим или наименьшим значением функции на всем промежутке).
Необходимое условие экстремума. Для того, чтобы функция имела экстремум в точке, необходимо, чтобы ее производная в этой точке равнялась нулю или не существовала.
Для дифференцируемых функций это условие вытекает из теоремы Ферма. Кроме того, оно предусматривает и случай, когда функция имеет экстремум в точке, в которой она не дифференцируема.
Точки, в которых выполнено необходимое условие экстремума, называются критическими(или стационарными для дифференцируемой функции). Эти точки должны входить в область определения функции.
Таким образом, если в какой-либо точке имеется экстремум, то эта точка критическая (необходимость условия). Заметим, что обратное утверждение неверно. Критическая точка вовсе не обязательно является точкой экстремума, т.е. сформулированное условие не является достаточным.
Первое достаточное условие экстремума. Если при переходе через некоторую точку производная дифференцируемой функции меняет свой знак с плюса на минус, то это точка максимума функции, а если с минуса на плюс, - то точка минимума.
Доказательство этого условия вытекает из достаточного условия монотонности (при изменении знака производной происходит переход либо от возрастания функции к убыванию, либо от убывания к возрастанию).