Самостоятельная работа по высшей математике Принял

Республика Узбекистан
Министерство высшего и средне специального образования
Навоийский государственный горно-технологический университет
Энерго-механический факультет
кафедра «Электроэнергетика»
Самостоятельная работа
по высшей математике


_________________________
Принял:__________________

Касательная плоскость и нормаль к поверхности.
Экстремумы функции. Решение задач с помощью функций нескольких переменных в экономических областях.

План:

1 Касательная плоскость и нормаль к поверхности

2 Экстремумы функции.

3 Решение задач с помощью функций нескольких переменных в экономических областях.

Касательная плоскость и нормаль к поверхности

Пусть M₀(x₀; y₀; z₀) – фиксированная точка на поверхности, заданной функцией z = f(x; y) или уравнением F(x; y; z) = 0.
Касательной плоскостью к поверхности в точке M₀ называется плоскость, в которой расположены касательные к всевозможным кривым, проведенным на поверхности через точку M₀.
Нормалью называется прямая, проходящая через точку M₀ перпендикулярно касательной плоскости.
Из определений следует, что нормальный вектор касательной плоскости и направляющий вектор нормали совпадают.
Если поверхность задана уравнением z = f(x; y), то уравнение касательной плоскости в точке M₀(x₀; y₀; z₀) к данной поверхности имеет вид
(1)
а канонические уравнения нормали, проведенной через точку M₀(x₀; y₀; z₀) поверхности, имеют вид
(2)
В случае, когда уравнение гладкой поверхности задано в неявном виде: F(x; y; z) = 0 и F(x₀; y₀; z₀) = 0, то уравнение касательной плоскости в точке M₀(x₀; y₀; z₀) имеет вид
(3)
а уравнение нормали
(4)
Пример Найти уравнение касательной плоскости и уравнения нормали к поверхности в точкеM₀(1; 2; –1).
Решение
Вычисляем значения частных производных в точке M₀(1; 2; –1)



Подставляя их в уравнения (3) и (4), получаем соответственно уравнение касательной плоскости:  канонические уравнения нормали: