Самостоятельные работы по дисциплине «Физика»

Кинетическая теория

В кинетической теории газов длина свободного пробега частицы (например, молекулы) — это среднее расстояние, которое проходит частица за время между столкновениями с другими движущимися частицами. В приведенном выше выводе предполагалось, что частицы-мишени находятся в состоянии покоя, поэтому формула {\displaystyle \ell =(n\sigma )^{-1}} , вообще говоря, справедлива только для падающих частиц со скоростями, высокими относительно скоростей совокупности таких же частиц со случайным расположением. В этом случае движения частиц мишени будут незначительны, а относительная скорость примерно равна скорости частицы.
Если же частица пучка является частью установившейся равновесной системы с идентичными частицами, то квадрат относительной скорости равен:
{\displaystyle {\overline {\mathbf {v} _{\rm {relative}}^{2}}}={\overline {(\mathbf {v} _{1}-\mathbf {v} _{2})^{2}}}={\overline {\mathbf {v} _{1}^{2}+\mathbf {v} _{2}^{2}-2\mathbf {v} _{1}\cdot \mathbf {v} _{2}}}.}В состоянии равновесия значения скоростей {\displaystyle \mathbf {v} _{1}}  и {\displaystyle \mathbf {v} _{2}}  случайны и независимы, поэтому {\displaystyle {\overline {\mathbf {v} _{1}\cdot \mathbf {v} _{2}}}=0} , а относительная скорость равна
{\displaystyle v_{\rm {rel}}={\sqrt {\overline {\mathbf {v} _{\rm {relative}}^{2}}}}={\sqrt {\overline {\mathbf {v} _{1}^{2}+\mathbf {v} _{2}^{2}}}}={\sqrt {2}}v.}Это означает, что количество столкновений равно {\displaystyle {\sqrt {2}}} , умноженному на количество неподвижных целей. Следовательно, применимо следующее соотношение:
Из закона Менделеева-Клапейрона {\displaystyle n=N/V=p/(k_{\text{B}}T)}  и с учётом {\displaystyle \sigma =\pi (2r)^{2}=\pi d^{2}}  (эффективная площадь поперечного сечения для сферических частиц радиусом {\displaystyle r} ) можно показать, что длина свободного пробега равна
{\displaystyle \ell ={\frac {k_{\text{B}}T}{{\sqrt {2}}\pi d^{2}p}},} где k_B — постоянная Больцмана.
На практике диаметр молекул газа не определён точно. Фактически, кинетический диаметр молекулы определяется через длину свободного пробега. Как правило, молекулы газа не ведут себя как твердые сферы, а скорее притягиваются друг к другу на больших расстояниях и отталкиваются друг от друга на меньших, что можно описать с помощью потенциала Леннарда-Джонса. Один из способов описать такие «мягкие» молекулы — использовать параметр σ Леннарда-Джонса в качестве диаметра. Другой способ — предположить, что газ в модели твердых сфер имеет ту же вязкость, что и рассматриваемый реальный газ. Это приводит к средней длине свободного пробега
{\displaystyle \ell ={\frac {\mu }{p}}{\sqrt {\frac {\pi k_{\text{B}}T}{2m}}},}где m — масса молекулы, а μ — вязкость. Это выражение можно удобно представить в следующем виде:
{\displaystyle \ell ={\frac {\mu }{p}}{\sqrt {\frac {\pi R_{u}T}{2M}}},}где {\displaystyle R_{u}}  — универсальная газовая постоянная, а {\displaystyle M}  — молекулярная масса. Эти разные определения диаметра молекулы могут привести к немного разным значениям длины свободного пробега.