Санкт-петербург-москва краснодар

§ 2.10. ОПРЕДЕЛЕНИЕ УСИЛИЙ
В СТАТИЧЕСКИ ОПРЕДЕЛИМЫХ БАЛКАХ С ЛОМАНЫМИ ОСЯМИ ОТ НЕПОДВИЖНОЙ НАГРУЗКИ
Определение опорных реакций для балок с ломаными осями, вычисле­ние внутренних усилий в поперечных сечениях таких балок п построение эпюр Q, N п М производится аналогично тому, как это делается для прямолинейных балок. При этом используются формулы, правила зна­ков п зависимости, приведенные в § 2.1. При наличии в ломаной балке вертикальных элементов следует условиться, какой конец каждого тако­го элемента будет считаться левым, п отметить соответствующий конец на чертеже каким-либо значком (например, крестиком).
Ниже приводятся примеры построения эпюр Q, N п М для балок с ломаными осями.
Пример 1. Построим эпюры Q, N и М для балки, изображенной на рис. 2.48а.
Условимся нижнюю часть вертикального элемента балки считать левой частью и в соот­ветствии с этим нижний конец его отметим крестиком.
Балка имеет два участка. Для каждого из них с помощью формул (2.1)—(2.3) составляем выражения поперечных и продольных сил и изгибающих моментов.
Участок I.
В поперечном сечении вертикального элемента АВ, отстоящем на расстоянии х\ от его верхнего конца, действуют усилия:
q¹ = -J2^y = -p; N^l = -J2^x = °; м¹ =^м = ~(.~^Pxi) = ^Pxi-


пр


пр


пр
Участок II.
В сечении горизонтального элемента ВС, отстоящем на расстоянии Х2 от его левого конца, действуют усилия:


а)


Q^u = У = 0; N¹¹ = ^2 ^х = Р; = J2^{M =} ~^Ра-


о)


/
XI Л


V/


=о=


Зп.О


Построенные по полученным выражениям эпюры Q, N и М изображены на рис. 2.486—г.


г)


Эп.М





д) Bju=P


Г


Л


Мва — Ра


% =Р ^


Мв: = Ра


Рис. 2.48

68

Г лава 2





а)


б)


Л.д.ЙА


ЛВ.Й[
г)
л.в.м„
д)
л.ь.м_к


Ra


<в,
г


1 гт


V/
2


^гттаТТК


Рис. 2.47

Балки 69

§ 2.10. ОПРЕДЕЛЕНИЕ УСИЛИЙ
В СТАТИЧЕСКИ ОПРЕДЕЛИМЫХ БАЛКАХ С ЛОМАНЫМИ ОСЯМИ ОТ НЕПОДВИЖНОЙ НАГРУЗКИ
Определение опорных реакций для балок с ломаными осями, вычисле­ние внутренних усилий в поперечных сечениях таких балок и построение эпюр Q, N и М производится аналогично тому, как это делается для прямолинейных балок. При этом используются формулы, правила зна­ков и зависимости, приведенные в § 2.1. При наличии в ломаной балке вертикальных элементов следует условиться, какой конец каждого тако­го элемента будет считаться левым, и отметить соответствующий конец на чертеже каким-либо значком (например, крестиком).
Ниже приводятся примеры построения эпюр Q, N и М для балок с ломаными осями.
Пример 1. Построим эпюры Q, N и М для балки, изображенной на рис. 2.48 а.
Условимся нижнюю часть вертикального элемента балки считать левой частью и в соот­ветствии с этим нижний конец его отметим крестиком.
Балка имеет два участка. Для каждого из них с помощью формул (2.1)—(2.3) составляем выражения поперечных и продольных сил и изгибающих моментов.
Участок I.
В поперечном сечении вертикального элемента АВ, отстоящем на расстоянии х\ от его верхнего конца, действуют усилия:
Q^l = -J2^Y = -P; N¹ = -J2^x = 0; М^{ = -Y_JM=-{-Px₁) = Px₁.


пр


пр


пр
Участок II.
В сечении горизонтального элемента ВС, отстоящем на расстоянии от его левого конца, действуют усилия:


а)


Р


Q¹¹ = ^2 ^Y = °; n^u = J2^X = Р; м¹¹ = J2^M = -^Ра■


Й


б)


/
XI л


V/


=о=


Зп.О


Построенные по полученным выражениям эпюры Q, N и М изображены на рис. 2.486—г.


г)


Эп.М





д) Oja =Р


Г


Л


МвА — Ра


% =Р ^


МВС = Ра


Рис. 2.48

70

Глава 2


Следует обратить внимание на то, что полученные выражения М¹ и Q¹ не удовлетворя­ют зависимости (2.1) § 2.1 (теореме Журавского). В самом деле,
dM^l d{P_Xl) _р , dxi dxi
а не , как это должно быть на основании теоремы Журавского. Такое положение
является результатом того, что для первого участка балки положительным для оси х принято направление справа налево, в то время как зависимость Q = верна при направлении оси х слева направо.
Проверим равновесие узла В. Для этого выделим его из балки и приложим к нему внутренние усилия, возникающие в поперечных сечениях вертикального и горизонтального элементов около узла В (см. рис. 2.48 (5). Составим уравнения узла В:
Y, Мв = -Мва + Мвс = ~Ра + Ра = 0;
^У = 0; Y_j^X = -Qba+N_bc = -Р + Р = 0.
Таким образом, условия равновесия удовлетворяются.
Условия равновесия должны удовлетворяться при любом числе стержней, сходящихся в рассматриваемом узле. Если к узлу приложены внешние силы и моменты, то их также следует учитывать при рассмотрении равновесия узла.
Пример 2. Построить эпюры Q, N и М для балки, изображенной на рис. 2.49 а. Наклонную силу Р можно заменить ее горизонтальной составляющей Р_х и вертикаль­ной составляющей Р_у:
Р_х = Ру = Р cos 45° = 0,707Р.
Из опорных реакций Ra , Ув и Нв для построения эпюр достаточно определить реак­цию Ra '■
М_в = R_a ■ 21 + Р_у ■ 1,7071 + Р_х • 0,7071 = О,
откуда


R_a =


— (1,707Р_у + 0,707Р_Х)1 _ -1,707-0,707


0,707Р = -0,853Р.


21 2
Знак минус указывает на то, что реакция Ra направлена не вверх (как это предполага-
лось), а вниз.
Для каждого из трех участков балки составляем выражения поперечных и продольных сил и изгибающих моментов.





J01P





Рис. 2.49

Балки

71


Участок I.
Q^l = R_a = -0,853Р; N¹ = 0; М¹ = R_AX! = -0,853P.ti; при ,Т1 = О М¹ = 0; при ,Т1 = 21 M^l = — l,706Pi.
Участок II.
Q¹¹ = Р_у = 0J07P; Nⁿ = -Р_х = -0J07P;
М^п = -Р_х • 0,7071 - Р_у( 1,7071 - х₂) = —0,707Р(0,707( + 1,7071 - х₂) =
= —Р(1,7071 - 0,707x2); при Х2 = О М^п = — l,707Pi; при Х2 = I М¹¹ = —Р1.
Участок III.
Q¹¹¹ = Р; лг^ш = 0; М^ш = -Рх₃; при .тз = О М^ш = 0; при .тз = I Мщ = —PI .
Построенные по полученным данным эпюры Q, N и М изображены на рис. 2.49 б—г. Читателю предлагается:

1. 
   проверить знаки эпюр поперечных сил, построенных на рис. 2.48 и 2.49, используя правило, изложенное в § 2.1;
   
2. 
   проверить эпюры Q, N и М, приведенные на рис. 2.50;
   
3. 
   построить эпюры Q, N и М для рам, изображенных на рис. 2.51.
   

70

Г лава 2


Следует обратить внимание на то, что полученные выражения М¹ и Q¹ не удовлетворя­ют зависимости ( 2.1) § 2.1 (теореме Журавского ). В самом деле,
dM^l d(P_Xl) _р ^ dx 1 dx i
а не , как это должно быть на основании теоремы Журавского. Такое положение
является результатом того, что для первого участка балки положительным для оси х принято направление справа налево, в то время как зависимость Q = верна при направлении оси х слева направо.
Проверим равновесие узла В. Для этого выделим его из балки и приложим к нему внутренние усилия, возникающие в поперечных сечениях вертикального и горизонтального элементов около узла В (см. рис. 2.48 д). Составим уравнения узла В:
У" Мв = —МвА + Мвс = -Ра + Ра = 0;
Y, у = о; Е -^Y = ~®^ВА + ^Nbc = -р + р = о.
Таким образом, условия равновесия удовлетворяются.
Условия равновесия должны удовлетворяться при любом числе стержней, сходящихся в рассматриваемом узле. Если к узлу приложены внешние силы и моменты, то их также следует учитывать при рассмотрении равновесия узла.
Пример 2. Построить эпюры Q, N и М для балки, изображенной на рис. 2.49 а. Наклонную силу Р можно заменить ее горизонтальной составляющей Р_х и вертикаль­ной составляющей Р_у:
Р_х = Р_у = Р cos 45° = 0,707Р.
Из опорных реакций Ra , У в и Нв для построения эпюр достаточно определить реак­цию Ra ■
М_в = R_a -2l + Py ■ 1,7071 + P_x ■ 0,7071 = 0,
откуда


Ra =


~(l,707P_y + 0,707P_x)l _ -1,707-0,707


0,707P = —0,853P.


21 2
Знак минус указывает на то, что реакция Ra направлена не вверх (как это предполага-
лось), а вниз.
Для каждого из трех участков балки составляем выражения поперечных и продольных сил и изгибающих моментов.





,101Р





Рис. 2.49

Балки

71


Участок I.
Q^l = R_a = -0,853Р; N¹ = 0; М¹ = R_Axx = -0,853P:ci; при Ж1 = 0 М¹ = 0; при х\ = М¹ = —1,706Р1.
Участок II.
Q¹¹ = Ру = 0,707Р; N¹¹ = -Р_х = -0,707Р;
М^п = -Р_х ■ 0,7071 - Р_у{1,7071 - х₂) = —0,707P(0,707l + 1,707« - х₂) =
= —Р(1,7072 - 0,707ж₂); при Х2 = О М^п = —1,707Р2; при Х2 = I М^п = —Р1.
Участок III.
Q¹¹¹ = Р; N^m = 0; М^ш = -Рх₃; при жз = О М^ш = 0; при жз = I Мщ = —Р1.
Построенные по полученным данным эпюры Q, N и М изображены на рис. 2.49 б—г. Читателю предлагается:

1. 
   проверить знаки эпюр поперечных сил, построенных на рис. 2.48 и 2.49, используя правило, изложенное в § 2.1;
   
2. 
   проверить эпюры Q, N и М, приведенные на рис. 2.50;
   
3. 
   построить эпюры Q, N и М для рам, изображенных на рис. 2.51.
   

.1.
а			LH ////^
V/

ъ = ?!


ь


~Ш/,Ж ?Ш7/,


Рис. 2.51