Санкт-петербург-москва краснодар

Пример. На рис. 2.27 а показана схема сплотки (двух секций) электровозов BJI-84. Расстояния между осями указаны в м, а силы (давление на оси) в кН. На рис. 2.27 б пока­зана треугольная линия влияния. Требуется определить невыгодное расположение сплотки электровозов и эквивалентную нагрузку.





28,764





Рис. 2.27

Балки

55


Решение. Вычислим равнодействующую R = 8 • 250 = 2000кН.
По формуле (2.10 ) определим Я_лев:
2000•15
Длев = = 500 кН.
60
Вычислим отношение, указывающее, сколько грузов входит в Длев:
Длев 500 ^
250 “ 250
Принимаем в качестве критического 7-й груз (рис. 2.27а, б) и относим его целиком к Я_лев. Вычислим S_max:
Smax = 2502/8 + 2502/7 + 2502/6 + 2502/s + 2502/4 + 250г/з + 250ге + 250t/i =
= 250 (ys + У7 + У6 + У5 + У4 + УЗ + У2 + У1) ■ (2.11 )
Для определения ординат линии влияния под грузами найдем расстояния от грузов до начала и конца линии влияния (рис. 2.27 а ). Далее вычисляем tg а_лев и tg п _|||:,:
У У
tg а_лев = ——; tg а_пр = ——.
15 45
В соответствии с рис. 2.27 а и формулой 2.11 имеем
S_max = 250 Г —(12,150 + 15) + —(16,236 + 19,086 + 26,093 +
L15 45
+ 28,943 + 35,143 +37,993)] = 1361;/. (2.12)
С другой стороны,
Smax = = ^qn'yl = ^ЯнУ ■ 60. (2.13)
Приравнивая выражения (2.12), (2.13) и сокращая на у, получим
1361
30^кН/м.
Можно для определения S_max использовать формулу (2.10 ):
2000•45
R„ = = 1500.
60
Вычисляем отношение = 6, принимаем в качестве критического 6-й груз
(рис. 2.27 е) и включаем его в равнодействующую правых сил Я._пр. Аналогично предыдущему вычислим
S_max = 250 [ — (5,143 + 7,993 + 15) + —(23,243 + 26,093 + 33,1 +
L15 45
+ 35,95 + 42,15)] = 1361 у. (2.14)
Усилия по выражениям (2.14) и (2.12) совпали: Длев (аналогично R_u ) содержит целое число нагрузок, поэтому критических грузов получилось два. Если это условие не выполня­ется, критический груз будет единственным.

54

Г лава 2


При выполнении конкретного расчета пнженер-проектпровщпк поль­зуется табличными значениями q₃. Максимально возможное усилие вы­числяется через площадь лпнпп влияния ш по формуле
^тах ⁼
Пример. На рис. 2.27о показана схема сплотки (двух секций) электровозов BJI-84. Расстояния между осями указаны в м, а силы (давление на оси) в кН. На рис. 2.27б пока­зана треугольная линия влияния. Требуется определить невыгодное расположение сплотки электровозов и эквивалентную нагрузку.





28,764





Рис. 2.27

Балки

55


Решение. Вычислим равнодействующую R = 8 • 250 = 2000 кН.
По формуле (2.10) определим Я_лев:
2000•15
Дпев = = 500 кН.
60
Вычислим отношение, указывающее, сколько грузов входит в Н_жв:
-^лев 500 ^
250 “ 250
Принимаем в качестве критического 7-й груз (рис. 2.27 а, б) и относим его целиком к Я_лев. Вычислим S_max:
Smax = 250г/8 + 250г/7 + 250г/в + 250гю + 250г/4 + 250г/з + 250г/г + 250г/1 =
= 250(г/8 + У7 + У6 + У5 + У4 + УЗ + У2 +2/l)- (2.11)
Для определения ординат линии влияния под грузами найдем расстояния от грузов до начала и конца линии влияния (рис. 2.27а). Далее вычисляем tg а_Лев и tg п_|||:,:
У У
tg С^лев ⁼ “Г j tg ^апр ⁼ ~~ •
15 45
В соответствии с рис. 2.27 а и формулой 2.11 имеем
S_max = 250 Г —(12,150 + 15) + —(16,236 + 19,086 + 26,093 +
L15 45
+ 28,943 + 35,143 +37,993)] = 1361г/. (2.12)
С другой стороны,
Smax = = ^q_syl = ^ЯэУ ■ 60. (2.13)
Приравнивая выражения (2.12), (2.13) и сокращая на у, получим
1361
30q₉ = 1361, откуда q₉ = ^ = 45,4 ^кН/м.
Можно для определения S_max использовать формулу (2.10):
2000•45
R„ = = 1500.
60
Вычисляем отношение = 6, принимаем в качестве критического 6-й груз
(рис. 2.27 в) и включаем его в равнодействующую правых сил Д_Пр • Аналогично предыдущему вычислим
Smax = 250 [ — (5,143 + 7,993 + 15) + —(23,243 + 26,093 + 33,1 +
L15 45
+ 35,95 + 42,15)] = 1361у. (2.14)
Усилия по выражениям (2.14) и (2.12) совпали: Я_лев (аналогично R_n ) содержит целое число нагрузок, поэтому критических грузов получилось два. Если это условие не выполня­ется, критический груз будет единственным.

56

Глава 2


§ 2.7. МНОГОПРОЛЕТНЫЕ СТАТИЧЕСКИ ОПРЕДЕЛИМЫЕ БАЛКИ
Статически определимая неизменяемая система, состоящая из ряда одно­пролетных балок (с консолями и без консолей), соединенных между со­бой шарнирами, называется многопролетной статически определимой или многопролетной шарнирной балкой.
Однопролетные балки, составляющие многопролетную статически определимую балку, могут быть все сплошными или сквозными (т. е. фер­мами) или частью сплошными, а частью сквозными. Теория расчета таких балок была разработана инженером Г. Семиколеновым в 1871 г.*
При решении вопроса о статической определимости и геометрической неизменяемости многопролетной шарнирной балки следует иметь в ви­ду, что такую балку всегда можно получить из неразрезной, т. е. стати­чески неопределимой балки, включив в нее ряд шарниров. Число таких шарниров, как увидим ниже, равно степени статической неопределимости неразрезной балки.
На рис. 2.28 а показана пятипролетная неразрезная балка. Она при­креплена к основанию с помощью семи опорных стержней. Для опреде­ления усилий в этих стержнях можно составить только три независимых


а)








*См.: Семиколенов Г. Теория уравновешенных балок. Изд-во типографии Академии
наук в С.-Петербурге, 1872.

Балки

57


уравнения равновесия. Поэтому такая балка не может быть рассчитана с помощью уравнений статики; она четыре раза статически неопределима.
Если число всех опорных связей неразрезной балки обозначить С, то степень статической неопределимости (плп число лишних неизвестных) п будет равна п = С — 3.
Применив эту формулу для балки, изображенной на рпс. 2.28 а, получаем _{?г =} 7 _ 3 ₌ 4
Каждый шарнир, установленный в пролете плп на опоре неразрез­ной балки, позволяет составить одно дополнительное уравнение стати­ки — условие равенства нулю суммы моментов относительно шарнира всех сил, приложенных к балке по одну сторону от него. Если поместить в неразрезной балке столько шарниров, сколько она имеет лишних неиз­вестных, то статически неопределимая балка обратится в статически опре­делимую, так как в этом случае все неизвестные можно будет найти с помощью уравнений статики.
Шарниры в балке при этом должны быть расположены таким обра­зом, чтобы система во всех своих частях была статически определимой п неизменяемой*.
На рпс. 2.286—д приведены различные схемы расположения шарни­ров, позволяющие превратить балку, изображенную на рпс. 2.28 а, в ста­тически определимую.
На рпс. 2.28 е показана неудачная расстановка шарниров. Хотя об­щее число поставленных шарниров в балке п равно здесь четырем, т. е. числу лишних неизвестных в соответствующей ей неразрезной балке (рпс. 2.28а), но часть балки АВ получилась статически неопредели­мой, а часть ВС — изменяемой (возможные для этой части перемещения указаны на рпс. 2.28 е штриховой линией).
На рпс. 2.29 а показана неразрезная балка с одним заделанным кон­цом. Напомним, что заделка содержит три связи (схема такого закрепле­ния изображена на рпс. 2.30). Поэтому здесь общее число связей С = 7,





6)


Рис. 2.29 Рис. 2.30





* Пример исследования геометрической неизменяемости многопролетной шарнирной
балки был рассмотрен в конце § 1.2.

"Ч 4Lo—
ч ^eL*—
ч г)
"Ч д)
"Ч е)			В		С
ч		—X— — Рис. 2.2S			'-Л—

*См.: Семиколенов Г. Теория уравновешенных балок. Изд-во типографии Академии
наук в С.-Петербурге, 1872.

Балки

57


уравнения равновесия. Поэтому такая балка не может быть рассчитана с помощью уравнений статики; она четыре раза статически неопределима.
Если число всех опорных связей неразрезной балки обозначить С, то степень статической неопределимости (или число лишних неизвестных) п будет равна п = С — 3.
Применив эту формулу для балки, изображенной на рис. 2.28 а, получаем _{п =} 7 _ 3 ₌ 4
Каждый шарнир, установленный в пролете или на опоре неразрез­ной балки, позволяет составить одно дополнительное уравнение стати­ки — условие равенства нулю суммы моментов относительно шарнира всех сил, приложенных к балке по одну сторону от него. Если поместить в неразрезной балке столько шарниров, сколько она имеет лишних неиз­вестных, то статически неопределимая балка обратится в статически опре­делимую, так как в этом случае все неизвестные можно будет найти с помощью уравнений статики.
Шарниры в балке при этом должны быть расположены таким обра­зом, чтобы система во всех своих частях была статически определимой и неизменяемой*.
На рис. 2.286—д приведены различные схемы расположения шарни­ров, позволяющие превратить балку, изображенную на рис. 2.28 а, в ста­тически определимую.
На рис. 2.28 е показана неудачная расстановка шарниров. Хотя об­щее число поставленных шарниров в балке и равно здесь четырем, т. е. числу лишних неизвестных в соответствующей ей неразрезной балке (рис. 2.28 а), но часть балки АВ получилась статически неопредели­мой, а часть ВС — изменяемой (возможные для этой части перемещения указаны на рис. 2.28 е штриховой линией).
На рис. 2.29 а показана неразрезная балка с одним заделанным кон­цом. Напомним, что заделка содержит три связи (схема такого закрепле­ния изображена на рис. 2.30). Поэтому здесь общее число связей С = 7,





6) I
I


Рас. 2.29 Рас. 2.30





* Пример исследования геометрической неизменяемости многопролетной шарнирной
балки был рассмотрен в конце § 1.2.

58

Глава 2


а число лишних неизвестных п = С — 3 = 4. Следовательно, для пре­вращения балки в статически определимую необходимо поместить в ней четыре шарнира (например, как это показано на рис. 2.29 б).
На рис. 2.31 а изображена балка с двумя заделками, причем правая заделка имеет горизонтальную подвижность. Такая заделка может быть схематически изображена двумя связями, как это показано на рис. 2.32.


На рис. 2.31 а число связей балки С = 8, а потому п = С — 3 = = 5. Следовательно, для того чтобы балка стала статически определимой, необходимо поставить пять шарниров, например, так, как это показано на рис. 2.31 б.
Для решения вопроса о неизменяемости многопролетной балки, а так­же для более наглядного представления о ее работе следует изображать схему взаимодействия отдельных элементов балки.
Исследуем, например, изменяема ли балка, приведенная на рис. 2.33 а. Схема взаимодействия ее элементов представлена на рис. 2.33 6. На этой схеме промежуточные шарниры заменены шарнирно-неподвижными опо­рами, соединяющими отдельные элементы балки. Из схемы видно, что си­стема неизменяема, так как она представляет собой ряд двухопорных ба­лок, связанных с «землей» или с геометрически неизменяемыми системами с помощью трех стержней, оси которых не пересекаются в одной точке.





Рис. 2.31


Рис. 2.32


а) А


В


Е
■о-


Е F


О











■о-





б)


F


О





А





В Л


Е





Рис. 2.33


В самом деле, балка АВЕ связана с «землей» тремя опорными стерж­нями и, следовательно, представляет собой геометрически неизменяемую

Балки

59


систему. Выше расположенная (на схеме) балка ECF одним своим кон­цом прикреплена с помощью двух стержней к геометрически неизменяе­мой балке АВЕ, а в точке С опирается на вертикальный опорный стер­жень, связывающий ее непосредственно с «землей». Такая связь обеспе­чивает балке полную неподвижность.
Аналогично прикрепляется п еще выше расположенная балка FD. Из приведенных схем можно вывести следующие правила установки шар­ниров для балок без заделанных (защемленных) концов:

1. 
   в каждом пролете может быть установлено не более двух шарниров;
   
2. 
   пролеты с двумя шарнирами должны чередоваться с пролетами без шарниров;
   
3. 
   пролеты с одним шарниром могут следовать один за другим (начиная со второго пролета).
   

До спх пор рассматривались случаи, когда все опоры, кроме одной, по­движны в горизонтальном направлении. Теперь посмотрим, как будут вы­глядеть расчетные схемы балок, если две (плп более) опоры неподвижны в горизонтальном направлении. В этом случае постановкой обычных шар­ниров невозможно обратить неразрезную балку в статически определимую неизменяемую систему. Потребуется установить еще так называемые по­движные шарниры, допускающие взаимные горизонтальные перемещения соединяемых частей балки. Схема подвижного шарнира изображена на рпс. 2.34. Пример статически определимой балки с тремя опорами, непо­движными в горизонтальном направлении, п двумя подвижными шарнира­ми приведен на рпс. 2.35 а; схема взаимодействия ее элементов показана на рпс. 2.35 б.
Читателю предлагается установить зависимость между числом опор, неподвижных в горизонтальном направлении, п числом подвижных шарниров.





Рис. 2.34


а)





б)





Рис. 2.35

58

Г лава 2


а число лишних неизвестных п = С — 3 = 4. Следовательно, для пре­вращения балки в статически определимую необходимо поместить в ней четыре шарнира (например, как это показано на рпс. 2.29 б).
На рпс. 2.31 а изображена балка с двумя заделками, причем правая заделка имеет горизонтальную подвижность. Такая заделка может быть схематически изображена двумя связями, как это показано на рпс. 2.32.


На рпс. 2.31 а число связей балки С = 8, а потому п = С — 3 = = 5. Следовательно, для того чтобы балка стала статически определимой, необходимо поставить пять шарниров, например, так, как это показано на рпс. 2.31 б.
Для решения вопроса о неизменяемости многопролетной балки, а так­же для более наглядного представления о ее работе следует изображать схему взаимодействия отдельных элементов балки.
Исследуем, например, изменяема лп балка, приведенная на рпс. 2.33 а. Схема взаимодействия ее элементов представлена на рпс. 2.33 6. На этой схеме промежуточные шарниры заменены шарнпрно-неподвпжнымп опо­рами, соединяющими отдельные элементы балки. Из схемы видно, что си­стема неизменяема, так как она представляет собой ряд двухопорных ба­лок, связанных с «землей» плп с геометрически неизменяемыми системами с помощью трех стержней, осп которых не пересекаются в одной точке.





Рис. 2.31


Рис. 2.32


а) а


В


Е ■о■


С F


О











■о-





б)


F


О





А





Е





Рис. 2.33


В самом деле, балка АВЕ связана с «землей» тремя опорными стерж­нями п, следовательно, представляет собой геометрически неизменяемую

Балки

59


систему. Выше расположенная (на схеме) балка ECF одним своим кон­цом прикреплена с помощью двух стержней к геометрически неизменяе­мой балке АВЕ, а в точке С опирается на вертикальный опорный стер­жень, связывающий ее непосредственно с «землей». Такая связь обеспе­чивает балке полную неподвижность.
Аналогично прикрепляется и еще выше расположенная балка FD. Из приведенных схем можно вывести следующие правила установки шар­ниров для балок без заделанных (защемленных) концов:

1. 
   в каждом пролете может быть установлено не более двух шарниров;
   
2. 
   пролеты с двумя шарнирами должны чередоваться с пролетами без шарниров;
   
3. 
   пролеты с одним шарниром могут следовать один за другим (начиная со второго пролета).
   

До сих пор рассматривались случаи, когда все опоры, кроме одной, по­движны в горизонтальном направлении. Теперь посмотрим, как будут вы­глядеть расчетные схемы балок, если две (или более) опоры неподвижны в горизонтальном направлении. В этом случае постановкой обычных шар­ниров невозможно обратить неразрезную балку в статически определимую неизменяемую систему. Потребуется установить еще так называемые по­движные шарниры, допускающие взаимные горизонтальные перемещения соединяемых частей балки. Схема подвижного шарнира изображена на рис. 2.34. Пример статически определимой балки с тремя опорами, непо­движными в горизонтальном направлении, и двумя подвижными шарнира­ми приведен на рис. 2.35 а; схема взаимодействия ее элементов показана на рис. 2.35 б.
Читателю предлагается установить зависимость между числом опор, неподвижных в горизонтальном направлении, и числом подвижных шарниров.
Рис. 2.34


а)


б)


тгк: у


Рис. 2.35




60


Глава 2


Многопролетные шарнирные балки, наиболее часто применяемые на практике, изображены на рис. 2.36 а и 2.37 а. Для первой из них (рис. 2.36а) характерно чередование пролетов, имеющих по два шарнира, с бесшарнирными; она состоит из ряда двухконсольных балок, на концы которых опираются однопролетные подвесные балочки (рис. 2.366). Для второй (рис. 2.37 а) характерно наличие одного шарнира в каждом про­лете, за исключением одного крайнего пролета; схема взаимодействия ее элементов показана на рис. 2.37 б.
Заметим, что благоприятное разгружающее действие консолей ис­пользуется не только в балках сплошного сечения, но и в сквозных кон­струкциях, например в многопролетной ферме, изображенной на рис. 2.38. Реакции опор такой фермы находят теми же приемами, как и в многопро­летной шарнирной балке.


ЯГ 9—^u 9—^u 9—¹
шш шт. шш, шш,


л


б)


А


шш,


Рис. 2.37





Рис. 2.38

Балки

61