Санкт-петербург-москва краснодар

Л. В. Ml


ШТТПТТГПтг-


Рис. 2.16


Рис. 2.17


где h_x — ордината линии влияния Mi под силой. Всю распределенную нагрузку можно представить как бесконечно большое число сосредото­ченных сил qdx. Чтобы найти момент от всех этих сил, надо взять сумму всех произведений q dxh_x. Следовательно,


Mi = / qdxh_x = q h_x dx,


здесь q как постоянная величина вынесена за знак интеграла. Пределы ин­тегрирования (от с до d) показывают, что суммирование надо произвести по всему участку балки, на котором действует распределенная нагрузка. Выражение, оставшееся под знаком интеграла, представляет собой не что иное, как элементарную площадку линии влияния М/ (на рис. 2.17 6 эта площадка заштрихована наклонными линиями). Интеграл в пределах от с до d равен площади линии влияния Mi на участке от х = с до х = d, заштрихованной на рис. 2.17 6. Если обозначить эту площадь и, то


Mi = quj.

48

Глава 2


Итак, для определения числовой величины усилия от равномерно рас-
пределенной нагрузки надо найти площадь соответствующей части линии
влияния этого усилия (в пределах расположения распределенной нагруз-
ки) и умножить ее на интенсивность нагрузки.
Если распределенная нагрузка расположена над линией влияния, со-
стоящей из нескольких участков разных знаков, то числовая величина
усилия равна произведению интенсивности нагрузки на алгебраическую
сумму площадей отдельных участков линии влияния. Так, для определе-
ния поперечной силы в сечении /, линия влияния которой построена на
рис. 2.17в, надо найти числовые величины площадей oj\ и шг, заштри-
хованных на рисунке, и подставить их в выражение
Q1 = я(^ш1 + ^ш2)-
Знаки площадей берут соответственно знакам ординат на тех участках,
где вычисляются эти площади; в данном случае площадь oj\ надо взять со
знаком минус.
Пример 1. Для балки пролетом I, загруженной равномерно распределенной нагруз-
кой q (рис. 2.18 а), с помощью линий влияния определить опорную реакцию Ra , изгибаю-
щий момент Mj и поперечную силу Qj в се-
редине балки. Линии влияния Ra , Mj и Qj
построены на рис. 2.18 б—г.
Так как нагрузка расположена на всем про­лете, то площади линий влияния надо вычис­лять на протяжении всего пролета.
Решение. Определение реакции Ra- Площадь линии влияния
oji = (1/2) • 1 = 1/2;
опорная реакция
Ra = qw i = ql/2.
Определение изгибающего момента Mi. Площадь линии влияния
= (1/2) (1/4) = I²/ 8;
изгибающий момент
Mj = quJ2 = ql²/&.
Определение поперечной силы Qj. Линия влияния состоит из двух участков; площади L02, и 0J4 одинаковы по величине, но различны по знаку:
o>3 = (~1/2)(1/2)(1/2) = -1/8;
= ~\~1/8.
^П0ЭТ0МУ Qi = я(ш 3 + Ш₄) = я(-1/8) + (1/8) = 0.


a) R_Ak


/


б)


¹1
Л.б.ЙА


'1


1/2


г)


Л. д. If
л в. а.


Ш-j
-Дг


f





Рис. 2.18

п		Г	' f \^р"
с ь А	к—i 1 ■Л V-	-	1—			£71 >•! °2 ^
		,		С;		т &—^а" X 'а7г~~.!

Рис. 2.20

^а) ^А	/ Я К		\Рв ■г
AM	ь_ / ^ 2	> / ^J
*1	ТТГШ15)ТТ	T^Trm^,—
в) у 1/2
		тТТПГт^	/ К
Л6.ГГ'	Ч v	*Л ®
Л. д. 0/\			1'

Рис. 2.1 S

Балки

49





Пример 2. Определить с помощью линий влияния изгибающий момент и поперечную
силу в сечении / консольной балки от заданной нагрузки (рис. 2.19 а).
Решение. Сначала строим для се-
чения / линии влияния Mj и Qj
(рис. 2.196, е).
Определение изгибающего момента
Mj. Ордината линии влияния Mj под
силой Р равна hi = —1,6м; площадь
линии влияния под нагрузкой равна
о>1 = 8 • 1,6/2 = 6,4м².
Следовательно,
М/ = —Phi + qoji =
= -3 • 1,6 + 2 • 6,4 = 8,0 кН • м.
Определение поперечной силы
Qj. Ордината линии влияния Qj под
силой Р равна /12 = 0>2, площадь
линии влияния под нагрузкой
со₂ = 8 • 0,8/2 = 3,2м.
Следовательно, ^
Qj — Ph2 ~\~ 2 — 3 • 0,2 -\- 2 • 3,2 — 7,0 кН.
Докажем теперь, что усилие S от нагрузки (от сосредоточенных сил и распределен-
ной нагрузки), расположенной над прямым участком линии влияния, может быть опреде-
лено умножением равнодействую-
щей силы R на ординату ho ли-
нии влияния S под этой силой.
Определим для этого с помощью
линии влияния S, изображенной
на рис. 2.20, усилие S от грузов
Pi, Р2 , -Рз , • • •, Рп (расположен-
ных над прямым участком cd ли-
нии влияния), равнодействующей
которых является сила R: