Санкт-петербург-москва краснодар

S = '£Ph = Plhi+P2h,2+P?,h3+.. .+P_nh_n.
Выразим ординаты линии влияния через расстояния от точек приложения грузов до точки 0 —пересечения прямых ае и cd (рис. 2.20):
hi = ai tg a; h2=a₂tga; h₃=a₃tgai; h_n = a_ntga.
Подставив эти значения ординат в выражение S, получим
S = (Piai + P2(i₂ + Рз^аз Н h P_na_n) tga.
Выражение, стоящее в скобках, представляет собой момент грузов Pi, Р2 , Р3 ,..., Р_п от­носительно точки 0, а он, как известно, равен моменту равнодействующей силы R относи­тельно этой же точки, т. е. Rao (рис. 2.20). Следовательно,
S = Rao tga = Rho,


что и требовалось доказать.





Рис. 2.20

50

Глава 2


§ 2.6. ОПРЕДЕЛЕНИЕ НЕВЫГОДНЕЙШЕГО
ПОЛОЖЕНИЯ НАГРУЗКИ НА СООРУЖЕНИИ.
ЭКВИВАЛЕНТНАЯ НАГРУЗКА
В предыдущем параграфе было доказано, каким образом с помощью линии влияния определяются различные усилия (например, опорная реакция, из­гибающий момент, поперечная сила и т. д.) от нагрузки, расположение ко­торой задано. Теперь покажем, как надо расположить заданную нагрузку на сооружении, чтобы она вызвала наибольшее значение рассматривае­мого усилия. Такое положение нагрузки называется невыгоднейшим или опасным.

1. 
   Случай действия на сооружение подвижной равномерно рас­пределенной нагрузки. В § 2.5 было показано, что числовая величина усилия S от равномерно распределенной нагрузки равна произведению интенсивности нагрузки q на площадь линии влияния, измеренную в пре­делах расположения нагрузки, т. е. S = qoj. Так как интенсивность на­грузки q есть величина постоянная, то максимальное значение искомого усилия получится при наибольшем значении площади ш, а это будет в том случае, когда нагрузка q расположится над всей площадью линии влияния
   

На рис. 2.21 а показано загружение равномерно распределенной нагруз­кой, соответствующее max Mj (загружена вся положительная часть линии влияния Mi), а на рис. 2.21 б — соответствующее min Mi (загружена вся отрицательная часть линии влияния). На рис. 2.22 а показано загружение, соответствующее таxQi (загружены оба положительных участка линии влияния). Наконец, на рис. 2.22 б показано загружение, соответствующее min Qi (загружена вся отрицательная часть линии влияния).


* Предполагается, что длина участка, на котором может действовать распределенная
нагрузка, больше длины загруженного участка линии влияния.

Балки

51

2. 
   Случай действия системы жестко связанных сосредоточен­ных сил*. Система жестко связанных подвижных сосредоточенных сил мо­делирует действие движущегося экипажа плп поезда. Если все грузы на­ходятся над прямолинейным участком лпнпп влияния, то, как следует пз предыдущего параграфа, пх действие можно заменить равнодействующей (см. рпс. 2.20). Рассмотрим систему жестко связанных грузов, изображен­ных на рпс. 2.23, положение которых будем характеризовать координатой х (расстояние от начала лпнпп влияния до первого груза). Допустим, что си­стема грузов переместилась на Ах, при этом нп один пз грузов не сошел с участка а — Ъ. Очевидно, что при таком перемещении равнодействующая тоже переместится на Ах и ордината под ней изменится на А /г:
   

А /г = Ах tg а.
Значит, усилие S получит приращение
AS' = ДА/г = RAxtga.








Рис. 2.24


В общем случае, когда загружено несколько участков лпнпп влияния, нельзя заменить всю нагрузку равнодействующей, но можно сделать это на каждом участке (рпс. 2.24), тогда


г=1


Если нагрузка переместится на небольшое расстояние Ах так, что все грузы останутся на тех же участках, то равнодействующие на всех участках не изменятся, а усилие S получит приращение


AS' = Д; tg оц Ах = Ах Е Ri tg оц,


(2.6)


г=1


г=1


* Текст взят из кн.: Смирнов А. Ф., Александров А. В., Лащеников Б. А., Шапошников Н. Н. Строительная механика стержневых систем. М., 1981, с. 141—145.

50

Г лава 2


§ 2.6. ОПРЕДЕЛЕНИЕ НЕВЫГОДНЕЙШЕГО
ПОЛОЖЕНИЯ НАГРУЗКИ НА СООРУЖЕНИИ.
ЭКВИВАЛЕНТНАЯ НАГРУЗКА
В предыдущем параграфе было доказано, каким образом с помощью лпнпп влияния определяются различные усилия (например, опорная реакция, из­гибающий момент, поперечная сила п т. д.) от нагрузки, расположение ко­торой задано. Теперь покажем, как надо расположить заданную нагрузку на сооружении, чтобы она вызвала наибольшее значение рассматривае­мого усилия. Такое положение нагрузки называется невыгоднейшим плп опасным.

1. 
   Случай действия на сооружение подвижной равномерно рас­пределенной нагрузки. В § 2.5 было показано, что числовая величина усилия S от равномерно распределенной нагрузки равна произведению интенсивности нагрузки q на площадь лпнпп влияния, измеренную в пре­делах расположения нагрузки, т. е. S = qoj. Так как интенсивность на­грузки q есть величина постоянная, то максимальное значение искомого усилия получится при наибольшем значении площади ш, а это будет в том случае, когда нагрузка q расположится над всей площадью лпнпп влияния
   

На рпс. 2.21 а показано загруженпе равномерно распределенной нагруз­кой, соответствующее max Mj (загружена вся положительная часть лпнпп влияния Mj ), а на рпс. 2.21 б — соответствующее min Mj (загружена вся отрицательная часть лпнпп влияния). На рпс. 2.22 а показано загруженпе, соответствующее maxQ/ (загружены оба положительных участка лпнпп влияния). Наконец, на рпс. 2.22 6 показано загруженпе, соответствующее minQ/ (загружена вся отрицательная часть лпнпп влияния).


* Предполагается, что длина участка, на котором может действовать распределенная
нагрузка, больше длины загруженного участка линии влияния.

Балки

51

2. 
   Случай действия системы жестко связанных сосредоточен­ных сил*. Система жестко связанных подвижных сосредоточенных сил мо­делирует действие движущегося экипажа или поезда. Если все грузы на­ходятся над прямолинейным участком линии влияния, то, как следует из предыдущего параграфа, их действие можно заменить равнодействующей (см. рис. 2.20). Рассмотрим систему жестко связанных грузов, изображен­ных на рис. 2.23, положение которых будем характеризовать координатой х (расстояние от начала линии влияния до первого груза). Допустим, что си­стема грузов переместилась на Ах, при этом ни один из грузов не сошел с участка а — Ъ. Очевидно, что при таком перемещении равнодействующая тоже переместится на Ах и ордината под ней изменится на Ah:
   

Ah = Axtg а.
Значит, усилие S получит приращение
AS = RAh = RAxtga.








Рис. 2.24


В общем случае, когда загружено несколько участков линии влияния, нельзя заменить всю нагрузку равнодействующей, но можно сделать это на каждом участке (рис. 2.24), тогда


S = J2Rihi-


г=1


Если нагрузка переместится на небольшое расстояние Ах так, что все грузы останутся на тех же участках, то равнодействующие на всех участках не изменятся, а усилие S получит приращение


AS = Rj tg o.iAx = Ах Е Ri^g оц,


(2.6)