Санкт-петербург-москва краснодар

Действия сосредоточенных сил. В § 2.2 было указано, что для опре­деления какого-либо усилия, вызванного грузом Pi, надо под грузом из­мерить ординату лпнпп влияния этого усилия п умножить ее на числовую величину груза. Если на сооружении стоит несколько грузов (рпс. 2.15 а), то на основании принципа независимости действия сил то же самое следует





⁺ Или перемещений, например прогибов.

44

Г лава 2


Для того чтобы установить, какой вид имеет линия влияния Mi на участке тп, докажем, что при узловой передаче нагрузки линия влияния любого усилия* в сеченпп / главной балки при движении груза Р = 1 в пре­делах той панели тп, в которой расположено сечение, представляет собой прямую, соединяющую вершины крайних (узловых) ординат этой панели.
Пусть при грузе Р = 1, расположенном в узлах т п п, ординаты лпнпп влияния усилия Si главной балки равны соответственно у_т п у_п (рпс. 2.13 6). Напоминаем, что эти ординаты определяются так же, как п при непосредственной передаче нагрузки на главную балку. Рассмотрим, как будет меняться усилие Si при движении груза по вспомогательной балке между узлами т п п (рпс. 2.13 а ).
При движении груза по вспомогательной балке в узлы т п п пере­даются силы R_m п R_n. Усилие Si главной балки от действия на нее в узлах т п п сил R_m п R_n на основании принципа независимости сил
^РЗВН0 Sj =Y,^Py = ^Кт Ут + RnVn,
R_m = Pz/d = 1 • z/d = z/d;
R_n = P(d — z) jd = 1 (d — z) jd = (d — z)/d; здесь d — длина панели; z — расстояние от груза Р = 1 до правого узла (узла п) рассматриваемой панели.
После замены R_m п R_n пх выражениями, получим
Si = (z/d)y_m + [(d - z)/d]y_n.
Таким образом, величина Si при движении нагрузки между узлами т п п выражается линейной функцией от z:
при z = 0 Si = у_п;
при z — d Si — Ут-
Следовательно, линия влияния усилия Si главной балки при движении груза Р = 1 между узлами т п п есть прямая, соединяющая вершины узловых ординат у_т п у_п. Эту прямую условимся называть передаточной.
Соединив передаточной прямой вершины ординат у_т п у_п, получим изображенную на рпс. 2.12 г линию влияния М/.
Аналогично производится построение п лпнпп влияния поперечной си­лы Qi. На участках Ат п пВ ординаты лпнпп влияния будут такие же, как п при нагрузке, приложенной непосредственно к балке. На протяжении же панели тп, в которой находится сечение I, через вершины ординат под узлами т п п надо провести передаточную прямую (см. рпс. 2.12 с)).


⁺ Или перемещения, например прогиба.

Балки

45


Таким образом, мы установили следующий порядок построения линии
влияния при узловой передаче нагрузки: ^

1. 
   сначала строят линию влия-
   ния без учета узловой передачи, т. е.
   в предположении, что нагрузка при-
   ложена непосредственно к главной
   балке;
   
2. 
   затем на такой линии влияния
   отмечают узловые ординаты рассе-
   ченной панели (т. е. панели, имею-
   щей сечение, для которого строит-
   ся линия влияния) и вершины их со-
   единяют передаточной прямой.
   

На рис. 2.14 построены линии
влияния М и Q для сечений / и II
консольной балки.
Для опорных реакций линии влияния не приведены, так как они такие же, как и при непосредственном действии нагрузки на балку.





§ 2.5. ОПРЕДЕЛЕНИЕ УСИЛИЙ С ПОМОЩЬЮ ЛИНИЙ ВЛИЯНИЯ


В предыдущих параграфах на-
стоящей главы рассматривались
вопросы, связанные с построени-
ем линий влияния. Теперь покажем,
каким образом производятся вы-
числения усилий* с помощью ли-
ний влияния. При этом рассмот-
рим действие следующих двух ви-
дов нагрузки: 1) сосредоточенных
сил; 2) равномерно распределенной
нагрузки.


а)


б)
Л





Действия сосредоточенных сил. В § 2.2 было указано, что для опре­деления какого-либо усилия, вызванного грузом Pi, надо под грузом из­мерить ординату линии влияния этого усилия и умножить ее на числовую величину груза. Если на сооружении стоит несколько грузов (рис. 2.15 а), то на основании принципа независимости действия сил то же самое следует


* Или перемещений, например прогибов.

46

Глава 2


проделать для каждого груза (т. е. ординату линии влияния под каждым грузом умножить на числовую величину груза) и полученные результаты сложить.
Для определения, например, изгибающего момента в сечении / (линия влияния М/ построена на рис. 2.156) следует числовую ве­личину груза Р\ помножить на ординату h\ линии влияния Mi (так как ордината hi отрицательна, то и произведение P\hi будет отри­цательно), числовую величину груза Р₂ — на ординату h₂, а груза Рз — на ординату /13.
Изгибающий момент М/ от действия грузов Р\, Р₂ и Рз будет равен:
Mi = '^_jPh = -Pi hi + P₂h₂ + Рз^з-
Ординаты линии влияния Mi измеряются в масштабе длин. Если еди­ница силы — ньютон (Н), а ординаты Mi — метр (м), то единица изгибаю­щего момента Ph будет ньютон-метр (Н • м).
Аналогично вычисляется и поперечная сила в сечении / (линия влияния Qi построена на рис. 2.15 в);
Qi = Pi/ii - P₂h₂ + Р3Л3,
где h[, h₂ и h'₃ — ординаты линии влияния Qi соответственно под груза­ми Р\, Р₂ И Рз .
Ординаты линии влияния поперечной силы — величины отвлеченные. Следовательно, произведения Ph', дающие числовые величины попереч­ной силы, будут иметь такую же размерность, как и сила Р.
Подобным же образом можно найти и величины опорных реакций с по­мощью соответствующих линий влияния.
Итак, чтобы вычислить какой-либо фактор (опорную реакцию, изги­бающий момент, поперечную силу, усилие в каком-либо элементе фер­мы и т. д.) от нескольких сосредоточенных сил, надо на построенной для этого фактора линии влияния измерить ординаты под грузами и найти ал­гебраическую сумму произведений числовых величин грузов на соответ­ствующие им ординаты линии влияния.
Пример. Определить с помощью линии влияния изгибающий момент в сечении / балки от заданных трех сил. Размеры балки, величины и расположение сил показаны на рис. 2.16 а. Линия влияния Mj построена на рис. 2.166. Числовые величины ординат под силами ука­заны на линии влияния; эти ординаты можно или определить графически по масштабу, или вычислить аналитически.
Изгибающий момент в сечении / равен
М/ = -4 - 0,5 + 8 • 1,0 + 10 • 1,0 = 16,0 кН • м.
Минус у первого члена взят потому, что ордината hi — отрицательна.




Балки


47


Действие равномерно распределенной нагрузки. Порядок расче-
та в этом случае рассмотрим на следующем примере. На некотором
участке балки (рпс. 2.17а) приложена равномерно распределенная на-
грузка интенсивностью q. Требуется определить изгибающий момент
в сеченпп / (линия влияния Mj построена на рпс. 2.17 6). Заменяем
на бесконечно малом участке cl.с распределенную нагрузку сосредото-
ченной силой qclx (рпс. 2.17а).
От этой сосредоточенной силы момент в сеченпп / равен q dxh_x,


Л. д. Ml


л.ьЖ~^тх£УШ^?_и₁


ШТТПТТГПтг-—


Рис. 2.16


Рис. 2.17


где h_x — ордината лпнпп влияния Mj под силой. Всю распределенную нагрузку можно представить как бесконечно большое число сосредото­ченных сил qdx. Чтобы найти момент от всех этих сил, надо взять сумму всех произведений q dxh_x. Следовательно,


Mj = / qdxh_x = q h_x dx,


здесь q как постоянная величина вынесена за знак интеграла. Пределы ин­тегрирования (от с до d) показывают, что суммирование надо произвести по всему участку балки, на котором действует распределенная нагрузка. Выражение, оставшееся под знаком интеграла, представляет собой не что иное, как элементарную площадку лпнпп влияния Mj (на рпс. 2.17 6 эта площадка заштрихована наклонными линиями). Интеграл в пределах от с до d равен площади лпнпп влияния Mj на участке от .г = с до х = d, заштрихованной на рпс. 2.17 б. Если обозначить эту площадь ш, то


Мт


qco.

46

Г лава 2


проделать для каждого груза (т. е. ординату лпнпп влияния под каждым грузом умножить на числовую величину груза) п полученные результаты сложить.
Для определения, например, изгибающего момента в сеченпп / (линия влияния Mj построена на рпс. 2.156) следует числовую ве­личину груза Pi помножить на ординату /гi лпнпп влияния Mj (так как ордината /гi отрицательна, то п произведение P\hi будет отри­цательно), числовую величину груза Р₂— на ординату h₂, а груза Рз — на ординату /гз.
Изгибающий момент Mj от действия грузов Pi, Р₂ п Рз будет равен:
М/ = ^ Ph = -P\hi + P₂h₂ + Р3/13.
Ординаты лпнпп влияния Mj измеряются в масштабе длин. Если еди­ница силы — ньютон (Н), а ординаты Mj — метр (м), то единица изгибаю­щего момента Ph будет ньютон-метр (Н • м).
Аналогично вычисляется п поперечная сила в сеченпп / (линия влияния Qi построена на рпс. 2.15в);
Qi = PiK - P₂h₂ + Р3Л3,
где h[, /72 п /73 — ординаты лпнпп влияния Qi соответственно под груза­ми Pi, Р₂ II Рз.
Ординаты лпнпп влияния поперечной силы — величины отвлеченные. Следовательно, произведения Ph', дающие числовые величины попереч­ной силы, будут иметь такую же размерность, как п сила Р.
Подобным же образом можно найти п величины опорных реакций с по­мощью соответствующих линий влияния.
Итак, чтобы вычислить какой-либо фактор (опорную реакцию, изги­бающий момент, поперечную силу, усилие в каком-либо элементе фер­мы п т. д.) от нескольких сосредоточенных сил, надо на построенной для этого фактора лпнпп влияния измерить ординаты под грузами п найти ал­гебраическую сумму произведений числовых величин грузов на соответ­ствующие нм ординаты лпнпп влияния.