Савол Савол Савол

Савол 

Савол 

Савол 

Quyidagi 













2,3, 4 ,

2,3, 4 ,

1, 2,3

a

b

c







 vektorlar sistemasi qanday 

shartni qanoatlantiradi? 

1. 





1, 2,3

a

, 

( 1, 0,3)

b



, 





2,1, 1

c



 

vektorlar bazis tashkil qilsin. Bu 

bazisda

d vector koordinatalarini 

niqlang.

 

a=(2.3) 

va 

b=(-3.2) 

vektorlar 

ortogonal bo’ladimi? 

Quyidagi 













5, 6, 7 ,

5, 6, 7 ,

3, 4,5

a

b

c







 vektorlar sistemasi qanday 

shartni qanoatlantiradi? 

 

x



nol vektorlar sistemasi ixtiyoriy 

evklid fazoda orthogonal bo’ladi, 

agar 

 

(1.2)  va  (3.-2)  vektorlar  ortogonal 

bo’ladimi? 

Quyidagi 













3,1, 2 ,

3,1, 2 ,

2, 6, 4

a

b

c







 vektorlar sistemasi qanday 

shartni qanoatlantiradi? 

Koshi Bunyaqovskiy tengsizligi-bu  

 

n    ning  qiymati  qanday    bo’lganda 

a=(2.4)    va  b=(n.1) 

vektorlar 

ortogonal bo’ladi? 

Quyidagi 













3,5, 7 ,

3,1, 2 ,

6, 2, 4

a

b

c







 vektorlar sistemasi qanday 

shartni qanoatlantiradi? 

Koshi Bunyaqovskiy tengsizligi 

bajariladi:

 

n    ning  qiymati  qanday    bo’lganda 

a=(4.n)    va  b=(1.-n)  vektorlar 

ortogonal bo’ladi? 

Quyidagi 













3,5, 6 ,

3,3,1 ,

0, 0, 0

a

b

c







 vektorlar sistemasi qanday 

shartni qanoatlantiradi? 

 Ushbu 

a

  orthogonal to’ldiruvchi 

vektorga vektorlar to’plami deyiladi:   n  ning qanday   qiymatida  a=(2.4.1)  

va  b=(n.1.2)  vektorlar  ortogonal 

bo’ladi? 

Quyidagi 













2,1, 2 ,

3, 4,5 ,

6,3, 6

a

b

c







 vektorlar sistemasi qanday 

shartni qanoatlantiradi? 

 

Nol vector: 

a va b  vektorlar ortogonal bo’lishi 

uchun qanday shart bajarilishi kerak? 

Quyidagi 

 

 

 

3;1 ,

0;1 ,

3; 2

a

b

c







 

vektorlar sistemasi qanday shartni 

qanoatlantiradi? 

Har qanday vektorga orthogonal 

to’ldiruvchi hisoblanadi:  

a va b  vektorlar ortonormal bo’lishi 

uchun qanday shart bajarilishi kerak? 

Quyidagi 

 

 

 

2;1 ,

5;6 ,

7;8

a

b

c







 

vektorlar sistemasi qanday shartni 

qanoatlantiradi? 

Ushbu 

М

to’plam orthogonal 

to’ldiruvchi deyiladi: 

Vektorlar   a=(1.3.2) va b=(4.-1.1)  

ortogonal bo’ladimi? 

Quyidagi 

 

 

1;3 ,

3;9

a

b





 

vektorlar sistemasi qanday shartni 

qanoatlantiradi? 

b  vektor  

M to’plamga  orthogonal,  

agar (ya’ni 

b

M



) 

Vektorlar   a=(1.2.0)  va  b=(2.-1.10)  

ortogonal bo’ladimi? 

Quyidagi 

















1, 0, 0 ,

0,1, 0 ,

0, 0,1 ,

0,1,1

a

b

c

d









 

vektorlar sistemasi qanday shartni 

  Evklid fazosining vektori uning 

fazo ostisiga orthogonal bo’ladi faqat 

qachonki 

 

a=(2,3,1)  va  b=(3,0,-6)  vektorlar 

ortogonal  bo’ladimi? 

qanoatlantiradi? 

Quyidagi 









3,1, 2 ,

3, 4,5

a

b





 

vektorlar sistemasi qanday shartni 

qanoatlantiradi? 

L

E



 (

E   Evklid fazosi)  

a

 

vektorning chiziqli fazo ostiga  

ortogonal proeksiyasi 

Pr

L

a bu: 

a=(2.4.n)  va  b=(2.1.-8)  vektorlar  

ortogonal bo’lsa, n nechaga teng? 

Quyidagi 









1, 2,5 ,

7,8,9

a

b





 

vektorlar sistemasi qanday shartni 

qanoatlantiradi? 

Ikki o'zaro ortogonal fazo  kesishadi 

faqat: 

 

Vektorlar  a=(2.1.4)    va    b=(n.2.2)  

ortogonal bo’lsa, n ni toping 

Quyidagi 









4,5,3 ,

4,3,5

a

b





 

vektorlar sistemasi qanday shartni 

qanoatlantiradi? 





T

1

1, 0, 2,1

а

, 





T

2

2,1, 2,3

а

,  





T

3

0,1, 2,1

а



  vektorlarning chiziqli 

qobig’i bo'lgan 



 fazo ostisining 

ortogonal to'ldiruvchisining bazisini 

toping 

 

e

1

=(1.0) va e

2

=(0.1)  vektorlar R

2

  da 

……. 

Quyidagi 









0,1, 0 ,

0,1,1

a

b





 

vektorlar sistemasi qanday shartni 

qanoatlantiradi? 

Evklid fazo ostisi deyiladi 

R

3

  da  e

1

=(1.0.0),  e

2

=(0.1.0)    va  

e

3

=(0.0.1) vektorlar …….  

Quyidagi 









1, 0, 0 ,

0,1, 0

a

b





 vektorlar 

sistemasi qanday shartni 

qanoatlantiradi? 

Ixtiyoriy  chiziqli  fazoda  

𝚅  skalyar 

ko’paytmabu: 

Tekislikda      a=(2,4)    va    b=(-4,2)  

vektorlar …… 

Quyidagi 









0,1, 0 ,

0, 0,1

a

b





 vektorlar 

sistemasi qanday shartni 

qanoatlantiradi? 

Xuddi shu 

𝚅  chiziqli fazoda 

mumkin: 

a=(2,0,4)    va      b=(2,1,-1)    vektorlar  

……  bo’ladi 

Quyidagi 

 

 

1, 2 ,

3, 4

a

b





 

vektorlar sistemasi qanday shartni 

qanoatlantiradi? 

Evklid fazosida  ixtiyoriy ikkita 

a va

b  vektor  uchun quyidagilar to'g'ri 

bo'ladi:  

a=(2,2,4)    va      b=(2,1,-1)    vektorlar  

……  bo’ladi 

Quyidagi 

 

 

0,1 ,

1, 0

a

b





 

vektorlar sistemasi qanday shartni 

qanoatlantiradi? 

 Koshi-Bunyakovskiy tengsizlikda

 

,

a b

a b



, teng belgiga 

erishilganda  

 n ning  qanday qiymatida  a=(2,3,0)  

va    b=(2,1,n)  vektorlar    ortogonal 

bo’ladi? 

Quyidagi 

1

1

, 0 ,

0,

2

2

a

b





























 

vektorlar sistemasi qanday shartni 

qanoatlantiradi? 

Ixtiyoriy Evklid fazosi 

E  dan olinga 

ixtiyoriy ikkita  a  ва  b  vektor  

uchun quyidagilar o'rinli bo'ladi:   

 n ning  qanday qiymatida  a=(-2,3,0)  

va    b=(n,10,1)  vektorlar    ortogonal 

bo’ladi? 

Quyidagi 

1

1

, 0 ,

3,

2

3

a

b





























 

vektorlar sistemasi qanday shartni 

qanoatlantiradi? 

1

2

,

,...,

n

a a

a  vektorlar sistemasi 

orthogonal deyiladi, agar: 

n ning  qanday qiymatida  a=(-2,1,2)  

va  b=(n,3,2) vektorlar  ortogonal 

bo’ladi? 

Quyidagi 









3, 2,1 ,

1, 2, 0

a

b





 vektorlar 

sistemasi qanday shartni 

qanoatlantiradi? 

Har qanday nol bo'lmagan 

vektorlarning ortogonal tizimi 

 

a=(4,3)  va  b=(3,n)  vektorlar  n ning 

qanday qiymatida ortogonal bo’ladi? 

Quyidagi 

















1, 0, 0 ,

0,1, 0 ,

0, 0,1 ,

0,1,1

a

b

c

d









 

vektorlar sistemasi qanday shartni 

qanoatlantiradi? 

Ixtiyoriy 

1

2

,

,...,

n

a a

a  ortogonal 

tizimlar uchun  o'rinli bo'ladi:   

E

1

, E

2

, E

3

  vektorlar birlik vektorlar 

bo’lib, juft-jufti bilan ortogonal 

bo’lsa, bu vektorlar R

3

 da …… 

Quyidagi 

 

 

 

5, 2 ,

2,3 ,

1, 0

a

b

c







 

vektorlar sistemasi qanday shartni 

qanoatlantiradi? 

 

Ushbu  a  vektorga ortogonal 

to'ldiruvchi Evklid fazosi vektorlari 

to'plami deyiladi 

 

a=(3,5,4)    va    b=(2,-2,1)    vektorlar 

ortogonal bo’ladimi? 

Quyidagi 

 

 

 

6,1 ,

1, 6 ,

6, 6

a

b

c







 

vektorlar sistemasi qanday shartni 

qanoatlantiradi? 

Berilgan 

M  vektorlar to'plamiga 

ortogonal to'ldiruvchi  

E  Evklid 

fazosining vektorlari to'plami deyiladi 

 

a=(n,2,5)  va  b=(1,-4,2)  vektorlar  n 

ning  qanday qiymatida ortogonal  

bo’ladi? 

Quyidagi 













0,1, 0 ,

0, 0,1 ,

0, 2, 0

a

b

c







vektorlar sistemasi qanday shartni 

qanoatlantiradi? 

Munosabatlarning qaysi biri to'g'ri 

 (

E  - Evklid fazosi) 

a=(n,1,4)  va  b=(1,2,-2)  vektorlar  n 

ning  qanday qiymatida ortogonal  

bo’ladi? 

Quyidagi 













1, 2,3 ,

2, 4, 6 ,

7,8,9

a

b

c







 vektorlar sistemasi qanday 

shartni qanoatlantiradi? 

1

2

,

,...,

n

a a

a

 vektor sistemasi  b   

vektorlarning chiziqli qobig’iga 

orthogonal bo’ladi qachonki 

E

1

,E

2

,……,E

n 

  vektorlar    sistemasi  

ortonormal  deyiladi,  agar    quyidagi 

shart bajarilsa: 

Quyidagi 













4, 2,3 ,

2, 4, 6 ,

6, 6,9

a

b

c







 vektorlar sistemasi qanday 

shartni qanoatlantiradi? 

Vektor fazo ostiga ortogonal bo'ladi, 

qachonki agar:  

E

n 

  evklid    fazoning      e

1

,e

2

,……e

n 

  

ortogonal    vektorlar    sistemasi  

ortonormal  vektorlar    sistemasi  

deyiladi, agar 

Quyidagi 













2, 7,5 ,

1,1,3 ,

3,8,8

a

b

c







 vektorlar sistemasi qanday 

shartni qanoatlantiradi? 

Agar vektorlar tizimi chiziqli erkli 

bo'lsa, uning Gram matritsasi: 

 

To’g’ri   tasdiqni  ko’rsating 

Quyidagi 













1, 2,1 ,

3,1, 2 ,

5,5, 4

a

b

c







 vektorlar sistemasi qanday 

shartni qanoatlantiradi? 

A: L → L chiziqli operatorining xos 

l  qiymatiga mos keladigan xos 

vektorlar to'plami L da  

E

n

evklidfazoninge

1

,e

2

,…..,e

n

      bazisi 

ortogonal    deyiladi,  agar      quyidagi 

shart bajarilsa: 

Quyidagi 













5,3,1 ,

1, 1, 2 ,

7,1,5

a

b

c









 vektorlar sistemasi qanday 

shartni qanoatlantiradi? 

Gram matritsasining elementi 

formula bo'yicha aniqlanadi 

Ortogonallashtirish  jarayoni      deb, 

……… 

Quyidagi 













1, 0, 0 ,

0,1, 0 ,

0,1,1

a

b

c







 vektorlar sistemasi qanday 

shartni qanoatlantiradi? 





1

2

3

1

,

,

:

1, 0, 2,1 ,

a a a a







2

2,1, 2,3

a







3

,

0,1, 2,1

a





. 

Vektorlarga ustiga qurilgan

ℒ  fazo 

ostisi

ℒ

⊥

 orthogonal to’ldiruvchning 

bazisini toping  

E

1

=(c,1,1),  E

2

=(0,c,1),  E

3

=(0,0,c)  

vektorlar  c  ning  qanday    qiymatida  

R

3  

fazoda  bazis bo’ladi?  

Quyidagi 













1, 0, 0 ,

0,1, 0 ,

1, 0,1

a

b

c











1

1,1,1,1

a



,





2

1,1, 1,1

a

 



,

E

1

=(2/3,  -1/3,  n),      E

2

=(-1/3,  2/3, 

 vektorlar sistemasi qanday 

shartni qanoatlantiradi? 





3

2, 0, 2, 0

a



. Vektorlarga ustiga 

qurilgan

ℒ  fazo ostisi ortogonal 

to’ldiruvchni  toping 

2/3),    E

3

=(2/3, 2/3, -1/3) vektorlar n 

ning  qanday    qiymatida  ortonormal 

bo’ladi? 

Quyidagi 













5, 6, 0 ,

0, 4, 0 ,

0,1, 2

a

b

c







 vektorlar sistemasi qanday 

shartni qanoatlantiradi? 





1

2, 2, 2, 2

a



 

,





2

3, 1, 1,3

a



 

,





3

2, 2, 0, 4

a





. Ushbu fazo ostisi 

bazisidan foydalanib ortogonal 

bazisni toping 

E

1

=(2/3,  1/3,  2/3),            E

2

=(-1/3,  n, 

2/3),                E

3

=(-2/3,  2/3,  1/3) 

vektorlar  n  ning  qanday    qiymatida 

ortonormal  bo’ladi? 

Quyidagi 













0, 0,5 ,

0,3,5 ,

7, 0, 0

a

b

c







 vektorlar sistemasi qanday 

shartni qanoatlantiradi? 

Funktsiyalar skalyar 

ko’paytmalaridan tashkil topgan 

Gramm aniqlovchi nolga teng 

bo’ladi, qachonki sistemaning

1

2

,

,

,

n

u u

u  funksiyalari 

 

E

1

=(n, 3/7, 6/7),   E

2

=(3/7, 6/7, -2/7),    

E

3

=(3/7,  6/7,  -2/7)    vektorlar  n  ning 

qanday 

 

qiymatida 

ortonormal  

bo’ladi? 

Quyidagi 













1,1, 0 ,

0,1,1 ,

1, 0,1

a

b

c







 vektorlar sistemasi qanday 

shartni qanoatlantiradi? 

Har qanday vektor tizimining gramm 

aniqlovchi 

Quyidagi  tasdiqlardan  to’g’risini   

ko’rsating: 

Quyidagi 

1 1

1

1

8, ,

,

, 7,

,

3 3

4

4

1 1

, , 9

4 4

a

b

c

































 







 

vektorlar sistemasi qanday shartni 

qanoatlantiradi? 

Evklid fazosining nol bo'lmagan 

elementlarining (vektorlarining) har 

qanday ortogonal tizimi 

 

E

1

=(-1/3,  2/3,  2/3),      E

2

=(2/3,  2/3,  -

1/3),    E

3

=(2/3, -1/3, n)  vektorlar n 

ning  qanday    qiymatida  ortonormal  

bo’ladi? 

Quyidagi 













0, 0, 7 ,

3, 6, 0 ,

2,3, 4

a

b

c





 



 vektorlar sistemasi qanday 

shartni qanoatlantiradi? 

Eng kichik kvadratlar usulida 

taxminiy funktsiyaning parametrlari 

shartdan aniqlanadi: 

nning  qanday  qiymatida  berilgan

1

1

1

, 0,

,

2

2

e

















2

1

1

, n,

,

3

3

e





 







3

1

2

1

,

,

6

6

6

e

















vektorlar 

sistemasi ortonormallangan bo’ladi. 

 

Quyidagi 













9,3,1 ,

1,9, 2 ,

1,1,8

a

b

c







 vektorlar sistemasi qanday 

shartni qanoatlantiradi? 

normal tenglamalar sistemasining 

matritsasi deyiladi 

 

nning  qanday  qiymatida  berilgan

1

1

1

1

,

,

,

3

3

3

e





 







2

1

1

n,

,

,

6

6

e





 







3

1

1

0,

,

2

2

e

















vektorlar 

sistemasi ortonormallangan bo’ladi. 

 

Quyidagi 













7,1, 2 ,

1,8, 2 ,

2, 2,9

a

b

c







 vektorlar sistemasi qanday 

shartni qanoatlantiradi? 

ℒ

chiziqli fazo quyidagi sistema bilan 

berilgan:

 

1

2

3

4

1

2

4

1

2

3

4

2

3

0

3

2

2

0

3

9

0

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

 



















 







 

ℒ

⊥

 ortogonal to’diruvchi bazisini 

toping 

nning  qanday  qiymatida  berilgan

1

1

1

n,

,

,

6

2

e





 







2

1

2

,

, 0 ,

3

6

e





 









3

1

1

1

,

,

3

6

2

e

















vektorlar 

sistemasi ortonormallangan bo’ladi. 

 

Quyidagi 













1,9, 2 ,

1,1,8 ,

9,3,1

a

b

c







 vektorlar sistemasi qanday 

shartni qanoatlantiradi? 

Evklid fazosining chiziqli fazo ostisi 

ko'rsatilgan xususiyatlardan qaysi 

biri ortogonal to'ldiruvchiga ega? 

 

1

2

2

1

,

х y

х y

х y





skalyar 

ko’paytmali  unitar  fazoda  berilgan

 

1,

a

i



va

 

,

b

i i



vektorlardan 

ortonormallangan bazis quring.

 













2,3, 4 ,

5, 6, 7 ,

6,9,12

a

b

c







vektor fazoning o’lchovini toping. 

Har qanday 

𝑥⃗ ∈ ℒ  vektor uchun va 

har qanday cheklangan o'lchovli fazo 

ostiga bo'shliq 

𝑀 ⊂ ℒ topiladi 

{a

1

,a

2

}    chiziqli      erkli  vektorlar  

sistemasini 

 

R

2 

daortogonal 

sistemaga    aylantiradigan    Gramm-

Shmidt  formulasini ko’rsating 













8,1,1 ,

2, 0,1 ,

1, 0, 7

a

b

c







vektor fazoning o’lchovini toping. 

 S kvadrat matrisa orthogonal 

deyiladi, agar 

{a

1

,a

2

,a

3

}   chiziqli  erkli vektorlar  

sistemasini  R

3

daortogonal sistemaga  

aylantiradigan  Gramm-Shmidt  

formulasini ko’rsating 













5, 6, 0 ,

0,3, 0 ,

2, 7, 0

a

b

c







vektor fazoning o’lchovini toping. 

ℒ- fazoda 

1

2

, ,...,

n

e e

e  - qandaydir 

bazis bo’lsa, u holda topiladiki:  

 

1

2

2

1

,

х y

х y

х y





skalyar 

ko’paytmali unitar fazoda berilgan

 

1,

a

i



va

 

3,

b

i



vektorlardan 

ortonormallangan bazis quring.

 













5, 6, 0 ,

0, 4, 0 ,

0,1, 2

a

b

c







vektor fazoning o’lchovini toping. 

1

2

, ,...,

n

e e

e basis  ortonormal  shu 

holdaki, qachon bu bazisda skalyar 

ko’paytma ega matrisa bo’lsa  

 

1

2

2

1

,

х y

х y

х y





skalyar 

ko’paytmali unitar fazoda berilgan

 

, 2

a

i



va

 

,

b

i i



vektorlardan 

ortonormallangan bazis quring. 













1, 0, 0 ,

0,1, 0 ,

0,1,1

a

b

c







vektor fazoning o’lchovini toping. 

1

(1, 3,1)

a





 va 

2

(4, 5,3)

a





 

vektorlar ta'sir qilgan fazo osti 

ortonormal bazisini toping  

 

1

2

2

1

,

х y

х y

х y





skalyar 

ko’paytmali unitar fazoda berilgan

 

2,

a

i



va

 

,

b

i i



vektorlardan 

ortonormallangan bazis quring. 

Barcha 

n n



matritsalar 

fazosining o’lchovi nimaga teng? 

Koordinatalar ortormal bazisda 

berilgan. 

1

10 20 10

a

(

,

,

)





vektor hosil 

qilgan fazo osti da 

(0,1, 0)

x



 

vektorning 

M

x



ortogonal 

proeksiyasini toping.   

 

1

2

2

1

,

х y

х y

х y





skalyar 

ko’paytmali unitar fazoda berilgan

 

,

a

i i



va

 

1,

b

i



vektorlardan 

ortonormallangan bazis quring. 

Barcha 

n n



dioganal matritsalar 

fazosining o’lchovi nimaga teng? 

Koordinatalar ortormal bazisda 

berilgan. 

1

10 20 10

a

(

,

,

)





vektor hosil 

qilgan fazo osti da 

(0,1, 0)

x



vektorning 

M

x



ortogonal 

proeksiyasini toping.   

 

1

2

2

1

,

х y

х y

х y





skalyar 

ko’paytmali unitar fazoda berilgan

 

,1

a

i



va

 

,

b

i i



vektorlardan 

ortonormallangan bazis quring. 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Barcha 

n n



 uchburchakli 

matritsalar fazosining o’lchovi 

nimaga teng? 

1

(1, 2,3)

a



 va 

2

(4,5, 6)

a



 

vektorlar hosil qilgan 

M

 fazo osti  

proektsiyalashda 

(1, 3,5)

x

 

vektorning 

M

x



ortogonal tashkil 

etuvchisini  toping:  

Е

1

,  Е

2

,  Е

3 

 

unitar    fazodagi  

ortonormal bazis bo’lsa,а=3iE

1

  +2E

2

 

+iE

3

  va  b=iE

1

-E

2

+2iE

3

  vektorlarning   

skalyar   ko’paytmasi topilsin

 

Barcha 

n n



 simmetrik 

matritsalar fazosining o’lchovi 

nimaga teng? 

1

(1, 2,3)

a



 va 

2

(4,5, 6)

a



vektorlar 

hosil qilgan 

M

 fazo osti  

proektsiyalashda 

(1, 3,5)

x

 

vektorning 

M

x



 ortogonal tarkibini 

toping. 

Е

1

,  Е

2

,  Е

3 

 

unitar    fazodagi  

ortonormal bazis bo’lsa,а=2iE

1

  +2E

2

 

+iE

3

  va  b=iE

1

-E

2

+iE

3

  vektorlarning   

skalyar   ko’paytmasi topilsin 

,

m n

R



 da barcha mumkin 

bo’lgan 

sin

cos

y

m

x n

x





funksiyalarning o’lchovi nimaga 

teng? 

 

Nol vektordan iborat sistems а=0. 

3

E evklid      fazoda      berilgan













1

2

3

1, 0, 0 ,

0,1, 1 , f

1,1,1

f

f









vektorlar  orqali  ortonormallangan 

bazis  quring.