Sferik geometriya haqida ma’lumotlar

Sferik geometriya haqida ma’lumotlar
Tarixiy ma’lumotlar. Sferik trigonometriya [yunoncha trigonon “uchburchak” + metron “o’lchov”.,= uchburchaklarni o’lchash] sferik geometriyaning uchburchak tomonlari va burchaklari orasidagi munosabatlarni, trigonometrik funksiyalar xossalarini o’rganuvchi bo’limidir. Sferik trigonometriya ko’p asrlardan buyon rivojlanib, ravnaq topib kelmoqda. Uning kundalik hayotimizdagi ahamiyati ulkan va davomlidir. Sferik trigonometriya bilan yassi (tekislik) trigonometriya o’rtasida farq mavjud, ya’ni biz maktab kursida o’rgangan trigonometriya sferik trigonometriyaning hususiy holi hisoblanadi. Aslini olganda biz uchun odatiy bo’lib ko’ringan yerdagi tekislik ham sfera sirtida ekanligiga ko’p ham e’tibor beravermaymiz. Bunga keyinroq batafsil to’xtalib o’tamiz.
Sferik trigonometriyani o’rganish o’ziga xos tarixga ega va asosiy ikkita muhim burilish mavjud. Birinchidan, astronomiya fani sferik trigonometriyani o’rganishga turtki bergan bo’lsa, so’ngra Greklar tomonidan bu yanada rivojlantirildi. Sfera haqida matematik kashfiyotlar II asrlarda qilingan degan taxminlar bor, lekin bunga yetarlicha dalillar yo’q. Sferik trigonometriyani o’rganishning ikkinchi bosqichi esa Islom dinining dunyo bo’ylab yoyilishi va so’ngra Makka shahrining qaysi tomonda degan oddiy savolga javob topish davomida vujudga kelgan. Bu fanni rivojlanishiga esa bir necha omillar ta’sir ko’rsatdi. Hususan, navigatsiya sohasidagi yangiliklar, yulduzlar xaritasini tuzish, geografik xaritalar tuzish, quyoshning ko’tarilish va tushish holatlari va vaqtni quyoshga qarab aniqlash borasidagi bilimlarni shakllanishi sferik geometriyaning rivojlanishigahissaqo’shdi.
Sfera va uning elementlari.
Ta’rif 1.1. Fazodagi tayin nuqtadan bir xil uzoqlikda nuqtalarning geometrik o’rniga sfera deyiladi.
Teorema 1.1. Har qanday tekislik bilan sferaning kesishmasi aylana bo’ladi.
Isboti. Faraz qilaylik, sfera va uning biror tekislik bilan kesimi egri soha berilgan bo’lsin.
Bunda va soha ga perpendikulyar. Shuningdek, hamda, va uchburchaklar uchun tomon umumiydir. Bundan hulosa qilish mumkinki, va uchburchaklar teng ekan yoki ekanligini topamiz. va nuqtalar sohaning ixtiyoriy nuqtalari ekanligi uchun aylana tarifiga asosan soha aylana bo’ladi. Teorema isbotlandi.
Natija 1. Sfera markazidan aylana markaziga tushirilgan chiziq aylana tekisligiga perpendikulyar bo’ladi.
Natija 2. Sfera markazidan bir xil masofada o’tgan tekisliklar orqali teng aylanalar hosil bo’ladi. Sfera markaziga yaqinroq masofada o’tgan tekislik kattaroq aylana hosil qiladi.
Ta’rif 1.2. Sfera markazidan o’tuvchi tekislik hosil qilgan aylana kata aylana deyiladi. Sfera markazidan o’tmaydigan aylana esa kichik aylana hosil qiladi.
Ta’rif 1.3. Sferadagi katta aylanaga perpendikulyar diametri sferaning o’qi deyiladi. Uning sferadagi uchlari bo’lgan va nuqtalar shu katta aylananing qutb nuqtalari deyiladi.
Natija 1. Sferadagi parallel aylanalar bir xil qutblarga ega.
Natija 2. Sferadagi barcha kata aylanalr o’zoro teng.
Natija 3. Har qanday kata aylana sferani teng ikkiga bo’ladi.
Natija 4. Ixtiyoriy ikkita kata aylanalar bir-birini kesadi.
Natija 5. Agar ixtiyoriy ikkita kata aylanalardan o’tgan tekisliklar o’zoro perpendikulyar bo’lsa, ushbu aylanalar bir-birining qutblaridan o’tadi.
Natija 6. Sferadagi ixtiyoriy ikkita nuqta orqali kata aylana o’tkazish mumkin.
Natija 7. Sferadagi ixtiyoriy nuqta orqali faqat bitta aylana chizish mumkin.
Ta’rif 1.4. Sferadagi ikki nuqtani bog’laydigan kata aylananing yoyi uzunligi bu nuqtalar orasidagi sferik masofa deyiladi.
Teorema 1.2. Sferadagi aylananing qutb nuqtasidan shu aylananing barcha nuqtalarigacha bo’lgan sferik masofalar teng.
Isboti. nuqtalar aylananing qutb nuqtalari, nuqtalar esa aylananing ixtiyoriy nutalari bo’lsin. nuqta aylananing markazi. , , yoylarning tengligini isbotlaymiz.
Ma’lumki, va balandlik , va uchburchaklar uchun umumiydir. U holda uchburchaklarning tengligiga asosan , , to’g’ri chiziqlar ham o’zoro teng. Bu to’g’ri to’g’ri chiziqlar sfera uchun bir xil vatarlar hisoblanadi. Bundan esa , va burchaklar ham teng yoki bu burchaklar tortib turgan , , yoylar ham teng ekanligi kelib chiqadi. Teorema isbotlandi.
Ta’rif 1.5. Sferadagi aylananing ixtiyoriy nuqtasidan yaqin qutbgacha bo’lgan sferik masofa qutb masofa deyiladi. Katta aylana uchun qutb masofa uning ixtiyoriy qutbigacha bo’lgan sferik masofa olinishi mumkin.
Ta’rif 1.6. Katta aylananing to’rtdan biri kvadrant deyiladi.
Natija 1. Katta aylananing qutb masofasi kvadrant bo’ladi.
Natija 2. Aylananing nuqtalarini uning qutb nuqtasi bilan tutashtiruvchi tog’ri chiziqlar teng.
Ta’rif 1.7. Sferadagi ixtiyoriy ikki nuqtalarning har biri bilan kvadrant masofalarda turuvchi nuqta, shu ikki nuqtalardan o’tgan kata aylanaga qutb nuqta bo’ladi.
Ta’rif 1.8. Sfera bilan bitta va faqat bitta umumiy nuqtaga ega to’g’ri chiziq yoki tekislik urinma chiziq yoki urinma tekislik deyiladi.
Natija 1. Sferaning urinma tekislikning urinish nuqtasiga tushirilgan radiusi tekislikka perpendikulyar bo’ladi.
Teorema 1.3. Bir tekislikda yotmagan to’rtta nuqta orqali faqat bitta sfera o’tkazish mumkin.
Teorema 1.4. Ikkita sferik sirtlar kesishmasidan aylana hosil bo’ladi. Bu aylana sferalar markazlarini tutashtiruvchi to’g’ri chiziqqa perpendikulyar tekislikda yotadi.