Shartli matematik kutilma va uning xossalari

Teorema 1. Tasodifiy miqdor ξ ning taqsimot funksiyasi F(x g x), ( ) esa, uzluksiz yoki chekli sondagi birinchi turdagi uzilish nuqtalarga ega bo‘lgan funksiya bo‘lsin.
Agar
∞
∫ g x dF x( ) ( ) < ∞
−∞ bo‘lsa,
∞
Eg( )ξ = ∫ g x dF( ) ( )x . (1)
−∞
Formula (1) ni quyidagi xususiy hollarda ko‘ramiz. 1) Agar tasodifiy miqdor ξ diskret bo‘lib, uning taqsimoti
P(ξ= a_k ) = p_k , k =1,2,..., ∑ p_k =1,
k
bo‘lsa,
Eg( )ξ = ∑g a( _k )p_k (2)
k
agar
∑ g a( _k) p_k < ^∞
k
(2) formulaning o‘rinli ekanligiga ishonch hosil qilish uchun ξ diskret bo‘lgan holda, g(ξ) ham diskret tasodifiy miqdor bo‘lishiga e’tibor berish yetarli bo‘ladi.
2) Agar tasodifiy miqdor ξ ning taqsimotini zichlik funksiyasi p(x) va Borel funksiyasi g(⋅) uchun
∞
∫ g x p x dx( ) ( ) < ∞
−∞ bo‘lsa,
Eg( ) g x p x dx . (3)
Keltirilgan (2), (3) formulalarga oid misollarni ko‘ramiz.
Misol 1. Agar ξ tasodifiy miqdor Puasson taqsimotiga ega bo‘lsa, E hisoblansin.
Yechish. Formula (2) dan foydalansak, ^⎛_⎜⎝g x( ) = _{1 +}¹ _x ^⎞_⎟⎠.
1 ∞ 1 _λk ^−λ _e−^λ ∞ ^λk+1
E = ∑ e = ∑ =
1+ξ _k=01+ k k! λ _k=0(k +1)!
λ −λ e

λ _r=1 r! λ λ
Misol 2. Tasodifiy miqdor ξ [0,1] oraliqda tekis taqsimlangan bo‘lsa, (3) formula bo‘yicha
E xdx x
Bu holda, g x( )= sin²πx.
Misol 3. Tasodifiy miqdor ξ Koshi taqsimotiga ega bo‘lsin. Bu holda, uning taqsimoti zichlik funksiyasi


Emin(ξ,1) hisoblansin.
Yuqoridagi (3) formula bo‘yicha
1 ^∞ 1
Emin(ξ,1) =π ₋∫∞min( x ,1⁾ 2 dx =

_{1+ x}

2 ⎡¹ x ^∞ dx ⎤ 1 1

=π⎢⎣0∫1+ x2 dx + 1∫ 1+ x2 ⎦⎥ = 2 +πln2
Bu yerda
^∞ dx π

1∫ 1+ x2 = ₄
ekanligi hisobga olindi.
2. Umumlashgan Chebishev tengsizligi. Yuqoridagi teorema 1 ning tatbiqi sifatida quyidagi teoremani keltiramiz.
Teorema 2. Funksiya g x( ) −manfiy bo‘lmagan va kamaymaydigan bo‘lsin. Bu holda, har qanday ε> 0 uchun Eg(ξ) . P(ξ ε> ) ≤ g( )ε
Agar F(x) = P(ξ< x) bo‘lsa, yuqoridagi (1) formulaga asosan
∞ ∞
Eg( )ξ = ∫ g x dF x( ) ( )≥ ∫ g x dF( ) ( )x ≥
ε
≥ g( )ε ∫ dF x( ) = g( ) (ε ξP >ε).
ε
Oxirgi tengsizliklardan teorema 2 ning isbotini olamiz. Xususan, ξ manfiy bo‘lmagan tasodifiy miqdor bo‘lsa, g x( ) = x deb olib,
P
Chebishev tengsizligiga ega bo‘lamiz.
Tasodifiy vektorlar funksiyalarining matematik kutilmasi. (Ω,_F ,_P) ehtimollik fazosida
ξ(ω ξ) = ( ₁(ω),...,ξ_k (ω))
tasodifiy vektor aniqlangan bo‘lsin. Agar R^k ni R ga akslantiradigan g x( ) = g x( ₁,...,x_k)
Borel funksiyasi berilgan bo‘lsa,
g x( ) = g(ξ₁(ω ξ)^,..., _k (ω))
tasodifiy miqdor bo‘lib, uning matematik kutilmasi
Eg( ) g . (4)
Bu (4) integralni R^k dagi ξ tasodifiy vektorning taqsimoti P_ξ(⋅) bo‘yicha (Lebeg integrali ma’nosida)
Eg( )ξ = ∫ g x P dx( ) _ξ( ), x = (x₁,...,x_k )∈R^k, (5)
Rk
ko‘rinishda yozish mumkin.
Agar ξ vektorning komponentlari
ξ1(ω ξ),..., k(ω)
bog‘liqsiz tasodifiy miqdorlar bo‘lsa, (5) integralni muayyan ravishda hisoblash imkoniyatlari yuzaga keladi. Qulaylik uchun k = 2 holni ko‘ramiz. Agar to‘plam
B = B1× B2 ={(x x1 2, ),x1∈B x1 2, ∈B2}⊂ R²
bo‘lsa (bu yerda B₁ va B₂ lar R dagi o‘lchovli to‘plamlar),
^P_ξ(B) = P(ξ∈B) = P(^{ξ ξ}1∈^B1 2, ∈^B2) = P(^ξ1∈^{B P}1) (^ξ2 ∈^B2) (6) tenglik o‘rinli bo‘ladi. Bu holda, _R² dagi taqsimot
P dx dx_ξ( ₁^, ₂) = P_{ξ1 2}ξ (dx dx1^, ₂) = P(^ξ1∈dx1 2,ξ ∈dx2)
R dagi
P_ξ1(dx1) = P(^ξ1∈dx1), P_ξ2 (dx2 ) = P(^ξ2 ∈dx2 )
taqsimotlarni to‘g‘ri ko‘paytmasi deb ataladi. Biz bilamizki, (6) formula (_R²,_B²) (_B²-ikki o‘lchovli Borel to‘plamlari σ−algebrasi) fazodagi ξ=(ξξ_{1 2}, ) tasodifiy vektorning taqsimotini ξ₁ va ξ₂ tasodifiy miqdorlarning (R,B) dagi taqsimotlari orqali bir qiymatli aniqlaydi.
Aytilganlardan P_{ξ1 2}ξ taqsimot bo‘yicha integral
∫ g x x( _{1 2}, )P_{ξξ1 2} (dx dx1^, ₂) (7)
2
R
P_ξ1 va P_ξ2 taqsimotlar bo‘yicha olingan integrallar orqali ifoda etilishi mumkinligi kelib chiqadi. Haqiqatan ham, quyidagi Fubini teoremasi o‘rinli.