Shartli о‘rtacha qiymat

Yechish. Y ning X ga nisbatan regressiya tenglamasini tuzamiz. Shu maqsadda quyidagi jadvalni tuzamiz.

№
1	3,2	4,0	12,80	10,24	16,00	4,06	3,67
2	3,0	3,8	11,40	9,00	14,44	4,08	3,56
3	3,10	3,5	10,85	9,61	12,25	4,07	3,40
4	2,8	3,0	8,40	7,84	9,00	4,10	3,14
5	3,4	4,4	14,96	11,56	19,36	4,03	3,88
6	3,8	4,2	15,96	14,44	17,64	3,98	3,78
7	4,0	4,6	18,40	16,00	21,26	3,96	3,99
8	3,5	4,5	15,75	12,25	20,25	4,02	3,94
9	3,9	3,1	12,09	15,21	9,61	3,97	3,19
10	4,5	4,1	18,45	20,25	16,81	3,9	2,72
11	4,6	4,8	22,08	21,26	23,04	3,89	4,09
12	4,2	4,0	16,80	17,64	16,00	3,93	3,67
	44	48	177,94	145,05	195,66	48	44

Shunday qilib,  =-0,12x+4,44.
_{2. Endi X ning Y ga regressiya  tenglamasini tuzamiz.}


Shunday qilib,  =0,53y+1,55.
12-Mavzu. Ikki o’lchovli tanlanmalarning geometrik tasviri, tarqoqlik diagrammasi.
Kuzatishlar soni katta bо‘lganda bir x qiymat n_x marta, bir y qiymat n_y marta, (x, y) juftlik n_xy marta kuzatilishi mumkin. Bunday hollarda kuzatish ma’lumotlari umumlashtirilib guruhlarga ajratiladi, ya’ni, n_xy chastotalar hisoblanib jadval kо‘rinishida yoziladi. Bu jadval korrelyatsion jadval deyiladi.
_{X va Y son belgilar chiziqli korrelyatsion bog‘langan bо‘lib, n ta bog’liqmas kuzatishlar asosida}  juft natijalar olingan bо‘lsin. Bunda juftlik _{nij marta kuzatilgan va}

Natijalar quyidagi korrelyatsion jadval kо‘rinishida yoziladi.

			...
			...
			...
:	...	...	...	...	...
			...
			...

Bunda,
 
 
_{Bu holda, Y ning X ga regressiya tо‘g‘ri chizig‘i parametrlari uchun (15.4) sistema quyidagi kо‘rinishni oladi.
 (15.6)
Bu yerda,
.
(15.6) sistemadan b ni yо‘qotib}
(15.7)
tenglamani hosil qilamiz, bu yerda,regressiya koeffitsiyenti
 _{(15.8)
Kо‘rinib turibdiki, Y ning X ga regressiya tо‘g‘ri chizig‘i
 nuqtadan о‘tadi.}
Agar   <sub>ekanligini hisobga olsak, u holda,

ni yozish mumkin, bu yerda,

Tenglikning ikkala tomonini</sub>

kasrga kо‘paytiramiz:

_{Bu tenglikni о‘ng tomonini r bilan belgilaymiz va uni korrelyatsiya koeffitsiyenti deb ataymiz.}

bundan, 
U holda, (15.7) tenglama
(15.9)
kо‘rinishni oladi. Korrelyatsiya koeffitsiyenti chiziqli korrelyatsion bog‘lanishning zichligi (kuchi)ni baholash uchun xizmat qiladi.Korrelyatsiya koeffitsiyentining absolyut qiymati birdan oshmaydi, ya’ni
 yoki 
Agar korelyatsiya koeffitsiyentining moduli   birga qancha yaqin bо‘lsa, bog‘lanish shuncha kuchli bо‘ladi.
Eslatma. 1. Agar r=0, bо‘lsa u holda X va Y lar chiziqli korrelyatsion bog‘lanmagan.
2. Agar   bо‘lsa, X va Y lar funksional bog‘langan.
2-misol. Quyidagi korelyatsion jadvalda keltirilgan ma’lumotlar bо‘yicha Y ning X ga regressiya tenglamasini tuzing.

Y\X	5	10	15	20	25	30	35	40	nu
100	2	1	-	-	-	-	-	-	3
120	3	4	3	-	-	-	-	-	10
140	-	-	5	10	8	-	-	-	23
160	-	-	-	1	-	6	1	1	9
180	-	-	-	-	-	-	4	1	5
nx	5	5	8	11	8	6	5	2	50

Yechish. Shartli variantalarga о‘tamiz.

bu yerda, C₁- coxta nol sifatida eng katta chastotaga ega x=20 varianta olindi, h₁=5 qadam qо‘shni variantalar orasidagi ayirmaga teng (10-5=5); xuddi shuningdek,
.
 
 
Xuddi shuningdek,
 
_{Endi shartli variantalar bо‘yicha korrelyatsion jadval tuzamiz:}

v\	-3	-2	-1	0	1	2	3	4	nυ
-2	2	1							3
-1	3	4	3						10
0	-	-	5	10	8				23
1	-	-	-	1	-	6	1	1	9
2	-	-	-	-	-	-	4	1	5
nu	5	5	8	11	8	6	5	2	50

va  larni hisoblaymiz:





_.
 ni hisoblaymiz. Jadvaldan,

Izlanayotgan korrelyatsion koeffitsiyentni topamiz

Bu kattalik 1 (bir) soniga ancha yaqin bо‘lib,   va  (umuman, X va Y) lar orasida kuchli chiziqli bog‘lanish borligini kо‘rsatadi.
Shunday qilib, yuqoridagilarga asosan,


Topilganlarni (15.9) ga qо‘yamiz:

yoki

13-Mavzu. Tanlanmaning korrelyatsiya koeffitsiyenti-ikki o’lchovli tanlanmaning sonli xarakteristikasi.
_{X va Y son belgilar chiziqli korrelyatsion bog‘langan bо‘lib, n ta bog’liqmas kuzatishlar asosida}  juft natijalar olingan bо‘lsin. Bunda juftlik _{nij marta kuzatilgan va}

Natijalar quyidagi korrelyatsion jadval kо‘rinishida yoziladi.

			...
			...
			...
:	...	...	...	...	...
			...
			...

Bunda,
 
 
_{Bu holda, Y ning X ga regressiya tо‘g‘ri chizig‘i parametrlari uchun (15.4) sistema quyidagi kо‘rinishni oladi.
 (15.6)
Bu yerda,
.
(15.6) sistemadan b ni yо‘qotib}
(15.7)
tenglamani hosil qilamiz, bu yerda,regressiya koeffitsiyenti
 _{(15.8)
Kо‘rinib turibdiki, Y ning X ga regressiya tо‘g‘ri chizig‘i
 nuqtadan о‘tadi.}
Agar   <sub>ekanligini hisobga olsak, u holda,

ni yozish mumkin, bu yerda,

Tenglikning ikkala tomonini</sub>

kasrga kо‘paytiramiz:

_{Bu tenglikni о‘ng tomonini r bilan belgilaymiz va uni korrelyatsiya koeffitsiyenti deb ataymiz.}

bundan, 
U holda, (15.7) tenglama
(15.9)
kо‘rinishni oladi. Korrelyatsiya koeffitsiyenti chiziqli korrelyatsion bog‘lanishning zichligi (kuchi)ni baholash uchun xizmat qiladi.Korrelyatsiya koeffitsiyentining absolyut qiymati birdan oshmaydi, ya’ni
 yoki 
Agar korelyatsiya koeffitsiyentining moduli   birga qancha yaqin bо‘lsa, bog‘lanish shuncha kuchli bо‘ladi.
Eslatma. 1. Agar r=0, bо‘lsa u holda X va Y lar chiziqli korrelyatsion bog‘lanmagan.
2. Agar   bо‘lsa, X va Y lar funksional bog‘langan.
2-misol. Quyidagi korelyatsion jadvalda keltirilgan ma’lumotlar bо‘yicha Y ning X ga regressiya tenglamasini tuzing.

Y\X	5	10	15	20	25	30	35	40	nu
100	2	1	-	-	-	-	-	-	3
120	3	4	3	-	-	-	-	-	10
140	-	-	5	10	8	-	-	-	23
160	-	-	-	1	-	6	1	1	9
180	-	-	-	-	-	-	4	1	5
nx	5	5	8	11	8	6	5	2	50

Yechish. Shartli variantalarga о‘tamiz.

bu yerda, C₁- coxta nol sifatida eng katta chastotaga ega x=20 varianta olindi, h₁=5 qadam qо‘shni variantalar orasidagi ayirmaga teng (10-5=5); xuddi shuningdek,
.
 
 
Xuddi shuningdek,
 
_{Endi shartli variantalar bо‘yicha korrelyatsion jadval tuzamiz:}

v\	-3	-2	-1	0	1	2	3	4	nυ
-2	2	1							3
-1	3	4	3						10
0	-	-	5	10	8				23
1	-	-	-	1	-	6	1	1	9
2	-	-	-	-	-	-	4	1	5
nu	5	5	8	11	8	6	5	2	50

va  larni hisoblaymiz:





_.
 ni hisoblaymiz. Jadvaldan,

Izlanayotgan korrelyatsion koeffitsiyentni topamiz