Sirt hаqidа umumiy mа’lumоt Аylаnmа sirt

Sirt yuzining ta‘rif

Sirt yuzi uchun formula

Izometrik sirtlar

Konform sirtlar

Sirtlarning egilishi

Aytaylik F sillik sirt berilgan bo`lsin. Uni kichik g soxalarga ajratamiz. xar bir soxada biror Р nuqtani belgilab, ularning xar birini shu nuqtadagi urinma tekislikka proektsiyalaymiz. (g) orqali g soxa proektsiyasining yuzini belgilaymiz.
Ta‘rif. F sirtning yuzi deb, g soxalarning o`lchovi cheksiz kichraya borganda (g) yuzalarning yiFindisi intilgan limitga aytiladi. Ta‘rifdan F sirt yuzini s orqali belgilasak

bo`ladi.
F sirt r=r(u,v) vektor tenglama bilan berilganda yuzani xisoblash uchun formula topamiz. Buning uchun eng avvalo (g) yuzalarning ifodalanishini topamiz.
Koordinata sistemasini shunday kiritamizki, bunda Р nuqta koordinata boshi va bu nuqtadagi urinma tekislik ХУ tekisligidan iborat bo`lsin. aytaylik bu koordinatalarga nisbatan F sirt g soxada
x=x(u,v), y=y(u,v), z=z(u,v)
ko`rinishdagi parametrik tenglamalar bilan aniqlansin.
g soxaning yetarlicha kichik o`lchamlaorida uni urinma tekislikka proektsiyalash bir qiymatli aniqlanadi. Shuning uchun u va v larni g soxa proektsiyasining egri chiziqli koordinatalari deb qarash mumkin, tekis soxaning yuzi egri chiziqli koordinatalarda quyidagi

Formula bilan xisoblanadi. Integral ostidagi ifodani quyidagicha yozib olamiz:
=|[r_ur_v]n_р|
bu yerda n_р - sirt ustidagi vektor funktsiyadan iborat bo`lib, tanlangan nuqtadagi birlik normal vektordan iborat.
Endi yuzalarning yig`indisi uchun quyidagi ifodani yoza olamiz:

bu yerda n* vektor-funktsiya bo`lib, xar bir soxadagi belgilangan nuqtadagi birlik vektordan iborat.
Oxirgi tenglikda limitga o`tib F sirt yuzasi uchun

ni yozamiz.
[r_u,r_v] va n vektorlar kollinear bo`lgani uchun oxirgi tenglikni

ko`rinishda yozamiz.
Agar [r<sub>u</sub>,r<sub>v</sub>]<sup>2</sup>= r<sub>u</sub><sup>2</sup>r<sub>v</sub><sup>2</sup>-(r<sub>u</sub>r<sub>v</sub>)<sup>2</sup>=EG-F2 ekanini eotiborga olsak, oxirgi tenglik
(*)
ko`rinishni oladi. (*) Formuladan shu narsa ko`rinadiki sirt yuzi xam 1-kvadratik forma bilan ifodalanar ekan.
Agar sirt z=f(x,y) tenglama bilan berilgan bo`lsa,
E=1+z_x², F=z_xz_y, G=1+z_y²
ga teng bo`lib, sirt yuzi formulasi

ko`rinishni oladi.
Sirt ustidagi egri chiziq yoyining uzunligi, sirt ustidagi chiziqlar orasidagi burchakni va soxaning yuzini aniqlash uchun sirt ustidagi egri chiziqli koordinatalar sistemasiga nisbatan Е,F va G qiymatlarini u,v orqali aniqlash kifoyadir. Е,F va G ni aniqlash uchun, sirtning shaklini bilish shart emas.
Sirt z=f(x,y) oshkor tenglama bilan berilgan xolda tegishli W soxaning yuzi uchun ushbu formula xosil qilinadi:
.
Izotermik va konForm sirtlar.
Ma‘lum bir sirt berilganda uning birinchi kvadratik formasi topilib,shu kvadratik formaning koeffsientlari orqali sirtdagi yoy uzunligi, ikki chiziq orasidagi burchak, soxaning yuzi aniqlanadi. Bu xilda ish olib borilganda, sirt mustaqil oboekt sifatida qaralib, uning fazodagi vaziyatiga etibor qilinmaydi. Tekislikning o`zini mustaqil qaraganda undagi geometrik munosabatlar planimetriya xosil qilganidek, egri sirt ustida qaralgan "o`lchashga doir masalalar" uning ichki geometriyasini tashkil etadi. Biz ko`ramizki, bu xossalar va ularga tegishli kattaliklar 1-kvadratik formaga bog`liqdir.
Endi masalani teskari tartibda qo`yib, 1-kvadratik forma sirtni to`la (ya‘ni uning shaklini) aniqlaydimi - yo`qmi va ixtiyoriy ravishda berilgan kvadratik formani o`zining 1-kvadratik formasi sifatida "qabul" qiladigan sirt mavjudmi, degan so`roqlarni qo`yib, ularga bu paragrafda javob berishga xarakat qilamiz.
Soddalik uchun, tekshirilayotgan sirtlarni analitik sirtlar deb, ya‘ni r(u,v) ni analitik funktsiya deb faraz qilamiz.
Ta‘rif. Agar ikki S<sub>1</sub> va S<sub>2</sub> sirtning nuqtalari orasida shunday o`zaro bir qiymatli moslik o`rnatilsaki, bu sirtlardagi xar qanday ikkita mos egri chiziqning mos yoylari bir-birga teng bo`lsa, bu sirtlar orasida izotermik moslik o`rnatilgan deyilib, sirtlarning o`zlari xam o`zaro izotermik sirtlar deyiladi.
S<sub>1</sub> va S<sub>2</sub> sirtlardan birini uzluksiz ravishda egib (deformatsiyalab), uni ikkinchi sirtga aylantirish mumkin bo`lsa, u xolda bu sirtlar orasidagi izomeriyani egilish (izgibanie) deb ataymiz.
Izometrik sirtlardagi mos chiziqlar (yoylar), burchaklar, yuzlar o`zaro teng edi. Parametrlashi umumiy bo`lgan ikki sirt S₁ va S₂ orasidagi moslik natijasida tegishli chiziqlar orasidagi burchaklargina o`zaro teng bo`lsa, bunday moslik sirtlargning konform mosligi deyiladi.
Ikki sirt S₁ va S₂ konform mos bo`lishi uchun ularning chiziqli elementlari ds<sup>2</sup> va ds<sub>1</sub><sup>2</sup> proportsional bo`lishi zarur va yetarlidir, ya‘ni
ds²=²ds₁²
Xaqiqatan,
E₁du²+2F₁dudv+G₁dv²=²(u,v)(Edu²+2Fdudv+Gdv²)
yoki
E₁=²E, F₁=²F, G₁=²G
shartlar bajarilsa, u xolda bu sirtlar ustida yotgn ikki juft mos chiziqlar orasidagi tegishli burchaklar teng bo`ladi, chunki bu burchaklar uchun chiqarilgan
соs=
formulaga E, F, G, E<sub>1</sub>, F<sub>1</sub>, G<sub>1</sub> ning ifodalarini qo`yganda ² qisqarib ketadi. Bu son buzilish (burishish) koeffsienti deyiladi.
Konform moslikning yana bir ajoyib xossasi shuki, S ва S₁ sirtlardagi yetarlicha kichik mos soxalar o`zaro o`xshashdir.

1.