Система алгебраических уравнений и алгебраических уравниваний Арзиева Шахноза

Постановка задачи Задание подразумевает знакомство пользователя с основными понятиями численных методов, такими как определитель и обратная матрица, и различными способами их вычислений. В данном теоретическом отчете простым и доступным языком сначала вводятся основные понятия и определения, на основании которых проводится дальнейшее исследование. Пользователь может не иметь специальных знаний в области численных методов и линейной алгебры, но с легкостью сможет воспользоваться результатами данной работы. Для наглядности приведена программа вычисления определителя матрицы несколькими методами, написанная на языке программирования C++. Программа используется как лабораторный стенд для создания иллюстраций к отчету. А также проводится исследование методов для решения систем линейных алгебраических уравнений. Доказывается бесполезность вычисления обратной матрицы, поэтому в работе приводится более оптимальные способы решения уравнений не вычисляя ее. Рассказывается почему существует такое количество различных методов вычисления определителей и обратных матриц и разбираются их недостатки. Также рассматриваются погрешности при вычислении определителя и оценивается достигнутая точность. Помимо русских терминов в работе используются и их английские эквиваленты для понимания, под какими названиями искать численные процедуры в библиотеках и что означают их параметры.

Основные определения и простейшие свойства Определитель Введем определение определителя квадратной матрицы любого порядка. Это определение будет рекуррентным, то есть чтобы установить, что такое определитель матрицы порядка n , нужно уже знать, что такое определитель матрицы порядка n - 1. Отметим также, что определитель существует только у квадратных матриц. Определитель квадратной матрицы A будем обозначать |A| или det A . Определение 1. Определителем квадратной матрицы второго порядка называется число

Определителем квадратной матрицы порядка n , n \geq 3 , называется число где M_k - определитель матрицы порядка n - 1 , полученной из матрицы A вычеркиванием первой строки и столбца с номером k . Для наглядности запишем, как можно вычислить определитель матрицы четвертого порядка: