Системы счисления

Основание позиционной системы счисления — число знаков или символов, используемых для изображения цифр в данной системе.

Поэтому возможно бесчисленное множество позиционных систем, т.к. за основание можно принять любое целое число p (p > 1): 2, 3, …, 8, …, 10, …, 16, …, образовав новую систему.

Наиболее распространёнными в настоящее время позиционными системами счисления являются 10-чная, 2-чная, 8-чная и 16-чная, которые представлены в приведённой таблице 2:
Таблица 2

система счисления	основание	алфавит цифр
ДЕСЯТИЧНАЯ	10	0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9
ДВОИЧНАЯ	2	0, 1
ВОСЬМЕРИЧНАЯ	8	0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7
ШЕСТНАДЦАТЕРИЧНАЯ	16	0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A (10), B (11), C (12), D (13), E (14), F (15)

Число в позиционной системе счисления с основанием p может быть представлено в виде полинома по степеням p. Например, в десятичной системе мы имеем число:

.
В общем виде это правило запишется так:
А_(p) = a_n-1·p^n-1+a_n-2·p^n-2+…+a₁·p¹+a₀·p⁰+a_-1·p^-1+a_-2·p^-2+…+a_-m·q^-m (4)

где А_(p) — произвольное число, записанное в системе счисления с основанием p;

p — основание системы счисления¹;
a_i — цифры, принадлежащие алфавиту данной системы счисления;
n — число целых разрядов;
m — число дробных разрядов.
Такая форма записи числа называется развёрнутой.
На практике обычно используется свёрнутая (сокращённая) запись числа, путём перечисления цифр a_i с указанием положения запятой.
А_(p) = a_n-1a_n-2…a₁a₀ , a_-1a_-2…a_-m (5)

В приведенной ниже таблице представлены эквиваленты десятичных цифр в двоичной, восьмеричной и шестнадцатеричной системах счисления.

Таблица 3