Системы счисления

Ответ: Х = 202,(02)₍₃₎.
Проверка:
Пример 10: Переведем число Х = 750₁₀ в шестнадцатеричную систему счисления:

750	16
736	46	16
14	32	2
	14

Ответ: .

2.3 Смешанные системы счисления.
Между двоичной системой счисления, с одной стороны, и восьмеричной и шестнадцатеричной — с другой, существует связь, позволяющая легко переводить числа из одной системы в другую: 8 и 16 — есть третья и четвертая степени двойки. Зависимость между числами восьмеричной и шестнадцатеричной системами счисления и эквивалентными им двоичными тетрадами представлена в таблице 4.
Таблица 4

восьмеричная цифра	0	1	2	3	4	5	6	7
двоичная триада	000	001	010	011	100	101	110	111

16-ая цифра		0	1		2	3		4	5		6		7	8	9
двоичная тетрада		0000	0001		0010	0011		0100	0101		0110		0111	1000	1001
16-ая цифра	10 или A			11 или В			12 или С			13 или D		14 или E				15 или F
двоичная тетрада	1010			1011			1100			1101		1110				1111

Для перехода из двоичной в восьмеричную или шестнадцатеричную систему поступают следующим образом: двигаясь от запятой, разделяющей целую и дробную части, влево и вправо соответственно, разбивают двоичное число на группы по три (четыре) разряда, дополняя при необходимости нулями, крайние левую и правую группы. Затем триаду (тетраду) заменяют соответствующей восьмеричной (шестнадцатеричной) цифрой.

Пример 11.
а) Перевести

б) Перевести

Перевод из восьмеричной в шестнадцатеричную систему и обратно осуществляется через двоичную систему с помощью триад и тетрад.
Пример 12. Перевести число

Ответ: .

Пример 13. Перевести число Х = 1237₍₁₀₎ в двоичную систему счисления.
Решение: Для ускорения перевода используем двухступенчатую схему: 10162. В данном примере для перевода числа из десятичной системы счисления в шестнадцатеричную потребовалось произвести две операции. При переводе этого же числа в двоичную систему счисления потребовалось бы десять операций деления.
Сначала переводим число в шестнадцатеричную систему счисления. В результате получаем число Х₁₆ = 4D5₁₆. Затем записываем каждую шестнадцатеричную цифру двоичными тетрадами, сохраняя при этом последовательность цифр шестнадцатеричного числа.

4	D	5
0100	1101	0101

Ответ: В результате получаем двоичное число: Х₂ = 10011010101₂.
Проверка: Осуществим проверку полученного результата путем перевода в десятичную систему счисления.

2.3.1. Перевод из двоичной системы счисления в восьмеричную, шестнадцатеричную и обратно
При переводе в восьмеричную систему счисления двоичное число разбиваем на группы по 3 цифры справа налево (триады), начиная с младшего разряда. Затем каждую тройку цифр заменяем соответственно цифрой восьмеричной системы счисления. Дробную часть разбиваем от запятой вправо на группы по 3 цифры.
Обратный переход - от восьмеричной системы счисления к двоичной - осуществляется заменой каждой восьмеричной цифры ее двоичным эквивалентом (тремя двоичными цифрами).
Таблица 5

0	1	2	3	4	5	6	7
000	001	010	011	100	101	110	111

Пример 14: Перевести число в восьмеричную систему счисления:
Решение: .
Пример 15: Перевести число в восьмеричную систему счисления:
Решение: .
Для перевода двоичного числа в шестнадцатеричное необходимо разбить двоичное число на тетрады справа налево. Первую цифру двоичного числа при необходимости дополняют до тетрады нулями.
Таблица 6

0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	A	B	C	D	E	F
0000	0001	0010	0011	0100	0101	0110	0111	1000	1001	1010	1011	1100	1101	1110	1111

Пример 16: Перевести число Х = 1011101110₍₂₎ в шестнадцатеричную систему счисления.
Решение: Разделим число на тетрады и к первым двум двоичным цифрам добавим недостающие до тетрады нули. 4-битовые группы, тетрады шестнадцатеричные эквиваленты каждой тетрады.

Ответ: В результате получаем шестнадцатеричное число Х= 2ЕЕ₁₆.
Проверка: Осуществим проверку полученного результата путем перевода в десятичную систему счисления, затем – из десятичной в шестнадцатеричную.

750	16
736	46	16
14	32	2
	14

Пример 17: Перевести число из двоичной системы счисления в шестнадцатеричную систему счисления:
Решение: .

Метод подбора
Для перевода двоичного числа в десятичное необходимо его записать в виде многочлена, состоящего из произведений цифр числа и соответствующей степени числа 2, и вычислить по правилам десятичной арифметики: (6)
При переводе удобно пользоваться таблицей степеней двойки:
Таблица 7

n (степень)	1024	512	256	128	64	32	16	8	4	2	1
2^n	2^10	2^9	2^8	2^7	2^6	2^5	2^4	2^3	2^2	2^1	2^0

Пример 18. Перевести число 77₁₀ в двоичную систему счисления.
Решение: Разбиваем число 77₁₀ на сумму чисел, используя степени двойки:


6 5 4 3 2 1 0 (разряды)

Ответ: 77₁₀ = 1001101₂

Проверка: Переведем число 7710 в двоичную систему счисления, для этого воспользуемся алгоритмом перевода целого числа из десятичной системы счисления в двоичную систему счисления с основанием p=2 Ответ: 7710 = 10011012 .

- 77 2 76 38 2 1 38 19 2 0 18 9 2 1 8 4 2 1 4 2 2 0 2 1 0

3. Арифметические операции в позиционных системах счисления
Арифметические действия над числами в любой позиционной системе счисления производятся по тем же правилам, что и в десятичной системе, так как все они основываются на правилах выполнения действий над соответствующими полиномами. При этом нужно только пользоваться теми таблицами сложения и умножения, которые имеют место при данном основании р системы счисления.
Отметим, что во всех позиционных системах счисления с любым основанием Р умножения на числа вида Р*m , где т — целое число, сводится просто к перенесению запятой у множимого на т разрядов вправо или влево (в зависимости от знака т), так же как и в десятичной системе. Рассмотрим основные арифметические операции сложение, вычитание, умножение и деление.

Сложение
Правила выполнения арифметических операций в двоичной системе счисления: операция сложения выполняется так же, как и в десятичной системе. Переполнение разряда приводит к появлению единицы в следующем разряде.

двоичная система счисления + 0 1 0 0 1 1 1 10