Случайные события. Вероятность события. Свойства вероятностей. Частота (статистическая вероятность) события

ЧАСТОТА (СТАТИСТИЧЕСКАЯ ВЕРОЯТНОСТЬ) СОБЫТИЯ
Итак, случайное событие и его вероятность представляют собой основные понятия теории вероятностей. Аксиоматически, определив первичные свойства этих понятий, можно построить соответствующую математическую теорию. В настоящее время принята предложенная А.Н. Колмогоровым система аксиом, на основе которой строится современная математическая теория вероятностей, представляющая собой хорошо развитый, достаточно сложный и изящный раздел математики. Она позволяет по значениям вероятностей некоторых исходных событий определять вероятности других связанных с ними событий. Можно всю жизнь заниматься этой наукой, не интересуясь физическим смыслом ее основных понятий. Однако для того, чтобы применить ее на практике, необходимо ответить по крайней мере на следующие два вопроса:
каким образом определяются значения вероятностей исходных событий?
какой практический смысл имеют величины получаемых в результате вероятностей?
В случае применимости схемы равновозможных случаев ответ на эти вопросы дает формула (1.2.1). Однако в подавляющем большинстве прикладных задач эта схема неприменима. В этих условиях для ответа на указанные вопросы используется понятие частоты (статистической частоты, статистической вероятности) события. Последнее вводится Следующим образом. Предположим, что мы многократно и при одинаковых условиях провели некоторый эксперимент, при котором можно ожидать появления события А. Исход эксперимента, в результате которого событие А действительно имело место, мы будем называть благоприятным. Тогда частотой события А в данной серии экспериментов будем называть величину
где н - общее число экспериментов,
м - число экспериментов с благоприятным исходом.
Результаты определения частоты &(А) до различным сериям экспериментов, вообще говоря, различны. При малом числе н разброс этих величин может быть значительным. Однако по мере увеличения н этот разброс постепенно уменьшается и величина &(А) приближается к некоторому среднему значению. События, обладающие этим свойством, называются статистически устойчивыми. Для анализа таких событий может быть использована теория вероятностей. События, не обладающие этим свойством, называются неопределенными и теорией вероятностей не рассматриваются.
Для многих статистически устойчивых событий их частота определяется экспериментально. При этом в качестве величины вероятности Р(А) рассматриваемого события А принимается его частота ЯС(Б), найденная по достаточно большому числу экспериментов (это число выбирается в зависимости от требуемой точности и надежности знания величины вероятности). В этом случае между вероятностью и частотой события существует такое же соотношение, как между истинным и измеренным значениями некоторой физической величины. Возможность подобного рассмотрения подтверждается следующими соображениями:
Многочисленные эксперименты показали существование разнообразных статистически устойчивых событий.
Экспериментально показано, что для событий, соответствующих схеме равновозможных случаев, частота !?(А) по мере увеличения числа н,экспериментов приближается к определяемому по формуле (1.2.1) значению вероятности С (А).
Определяемая по формуле (1.4.1) частота подчиняется аксиомам теории вероятностей.
В качестве примера использования понятий частоты и вероятности при исследовании прикладных вопросов рассмотрим следующую простую задачу. Предположим, что мы собираемся изготовить некоторое устройство, состоящее из четырех однотипных элементов, соединенных в два параллельных канала, по два элемента в каждом, по изображенной на рис. 1.4.1 схеме. Устройство предназначено для преобразования поступающего на его вход сигнала и выдачи его в преобразованном виде на выходе.
При этом для правильного срабатывания устройства достаточно правильного срабатывания по крайней мере одного канала. Однако каждый канал срабатывает лишь при условии нормальной работы обоих его элементов. Требуется еще до изготовления устройства оценить ожидаемую частоту его правильных срабатываний, т. е. отношение числа случаев нормальной работы к общему числу включений устройства. Эту величину обычно называют надежностью устройства.
Для решения поставленной задачи воспользуемся результатами заводских испытаний используемых элементов, при которых была определена частота с отказа (т. е. ненормальной работы) одного элемента. Примем ее за величину вероятности отказа одного элемента. Отсюда, пользуясь зависимостью (1.3.2), находим вероятность безотказной работы одного элемента
Будем рассматривать отказы всех входящих в устройство элементов как независимые события. Тогда, пользуясь равенствами (1.3.4) и (1.4.2), находим вероятность безотказной работы
одного канала из двух элементов. Для нормальной работы всего устройства в целом необходимо и достаточно осуществления одного из следующих трех несовместных событий:
канал I работает правильно, а канал II - неправильно;
канал I работает неправильна, а канал II - правильно;
оба канала работают правильно.
Пользуясь зависимостями (1.3.2), (13.4) и (1.4.3), легко подсчитать вероятность каждого из этих событий в отдельности. При этом вероятность первого или второго из них равнаа вероятность третьего - (1 - р)\ Отсюда, пользуясь правилом (1.3.1) сложения вероятностей, находим вероятность безотказной работы устройства в целом '
Эта величина и принимается за частоту безотказной работы устройства, т. е. его надежность.
Сравнивая выражения (1.4.3), (1.4.4) и учитывая неравенство 0 < с < 1, можно показать, что всегда
т. е. введение второго (резервного) канала повышает надежность устройства. Если обозначить через р' 1 - Р_г вероятность отказа одного канала, а через р'^/в»1 -# - вероятность отказа устройства из двух каналов, то, пользуясь выражениями (1.4.3) и (1.4.4), можно написать, что
Отсюда видно, что введение второго канала существенно уменьшает вероятность отказа устройства в целом. Особенно эта будет заметно для устройств, состоящих из надежных элементов (р мало).
Аналогичным образом может быть проанализирована работа устройства, состоящего из трех и большего числа параллельных каналов. Таким образом, зная надежность исходных элементов, можно выбрать конструкцию, удовлетворяющую заданным требованиям по надежности устройства в целом. Подобные методы широко используются в' настоящее время при проектировании различных устройств, состоящих из большого числа Элементов, При этом решаются задачи, во много раз превосходящие по сложности рассмотренную выше.
Приведенный пример расчета надежности методами теории вероятностей базируется на ряде допущений. Укажем основные из них.
Статистическая устойчивость результатов заводских испытаний используемых элементов.
Допустимость перехода от частоты к вероятности (при определении вероятности отказа одного элемента) и от вероятности к частоте (при практических использованиях найденной вероятности безотказной работы устройства в целом).
Независимость вероятности отказа одного элемента от различия между условиями заводских испытаний и условиями работы элементов в устройстве.
4 Взаимная независимость отказов элементов в устройстве.
5. Безотказность остальных частей устройства (соединяющих элементов, коммуникационных линий, различных переключателей и т. п.).
Существенное нарушение хотя бы одного из этих условий может быть причиной пру бой ошибочности найденных результатов. Так, например, какой-либо внешний фактор (сотрясение, изменение температуры, вспышка на Солнце) может повысить вероятность отказа всех элементов устройства. При этом возникает зависимость между отказами различных элементов и резервирование каналов иногда становится практически бесполезным. Следует иметь в виду, что небольшие отклонения от принятых допущений всегда имеют место. Поэтому в ответственных случаях (например, при передаче изделий в массовое производство) результаты предварительных проектных расчетов надежности проверяются испытаниями готовых изделий.
Приведенный пример хорошо иллюстрирует основные принципы использования вероятностных расчетов для практических целей. При этом решение рассматриваемой прикладной выдачи можно разделить на следующие этапы:
определение вероятностей некоторых исходных событий (по данным статистических испытаний или по схеме равновозможных случаев);
пересчет вероятностей исходные событий в вероятности интересующих исследователя окончательных событий;
- переход от вероятностей окончательных событий к их частотам или другим, имеющим практическое значение параметрам.
Проведение подобных исследований возможно лишь на основе некоторых допущений о характере рассматриваемых событий и их взаимной связи. Правильный выбор системы -допущений имеет решающее значение для задач рассматриваемого типа. Эта система должна соответствовать существу решаемой прикладной задачи и обеспечивать возможность проведения необходимых расчетов методами теории вероятностей. Так как ни одна система допущений не учет выполняться абсолютно точно, то следует обратить особое внимание на устойчивость получаемого решения к малым отклонениям от принятых допущений. А именно, при возможных малых отклонениях от этих допущений результаты не должны существенно изменяться. Из изложенного следует, что выбор системы допущений должен производиться специалистами, хорошо знающими рассматриваемую прикладную задачу и в достаточной мере владеющими методами теории вероятностей» В ответственных случаях следует по возможности проверять результаты теоретических расчетов статистическими испытаниями всего исследуемого явления в целом.
Таким образом, устанавливается близость понятий частоты и вероятности. А именно, частоту статистически устойчивого случайного события следует рассматривать как измеренное значение его вероятности и использовать в числе исходных данных для вероятностных расчетов. Получаемая в результате этих расчетов вероятность некоторого другого события может рассматриваться как его частота при многократном повторении эксперимента. Такой переход имеет смысл даже в том случае, когда эксперимент проводится всего один раз (например - при запуске космического аппарата на другую планету). В этом случае многократное повторение эксперимента следует рассматривать как гипотетическую возможность. Если вероятность некоторого события мала, то при единичном эксперименте мы можем с большой уверенностью считать, что оно не произойдет. По сути, этим мы все время руководствуемся в обыденной жизни. Пешеход, выходящий на улицу большого города, и пехотинец, идущий в атаку на пулемет, испытывают совершенно различные чувства. Но ведь в обоих случаях можно погибнуть. Только с разной вероятностью!
ИСПОЛЬЗОВАННАЯ ЛИТЕРАТУРА
1. Измерительная информация: сколько ее нужно? как ее обрабатывать? Эльясберг П.Е. - М.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1983. - 208