Sodda differensial tenglamalar

dx ч

— = ^f (^x, У), ⁽²⁾

< dy

_ y|x=^ = Уо ⁽³⁾

kabi yoziladi va Koshi masalasi (yoki boshlang‘ich masala) deb ataladi. Yuqoridagi a),b), c) shartlarni qanoatlantiradigan y = ф(х) funksiya Koshi


maslalasiningyechimi deyiladi.

Bu masala geometrik nuqtai nazardan quyidagicha talqin etiladi:

Koshi maslalasining yechimini topish, (14.3.1) tenglamaning (x₀, y₀)ED nuqtadan o‘tadigan integral egri chizig‘ini topishdan iboratdir. Bunday egri chiziq mavjud bo‘lmasligi, agar mavjud bo‘lsa, u yagona va bir nechta xatto cheksiz ko‘p bo‘lishi ham mumkin. Buni misollarda ko‘rsatamiz:


1-misol.


± = _ex

< dx Koshi masalasini ko‘raylik. Berilgan tenglama

X~^{ln 2)} = ^-1


uchun umumiy yechim formulasi y = e^x + c (1 -rasm) ma’lum, shuning uchun boshlang‘ich shartdan foydalanib, c ning mos qiymatini topamiz:

e -^ln2 + c = -1,

3

c = — 2

demak, yuqorida qo‘yilgan Koshi masalasining yechimini beradigan integral egri


chiziq tenglamasi y = e^x


- ekan.

2

Faraz qilaylik, F(x,y,c) uch o‘zgaruvchili funksiya (x,y) eD₂^R² ikki o‘lchovli soha va ceC oraliq to‘g‘ri Dekart ko‘paytmasidan iborat bo‘lgan G=D₂xC₀={(x,y,c):( x,y) eD₂, ceC₀} uch o‘lchovli sohada aniqlangan va uzluksiz differensialanuvchi funksiya bo‘lsin.

U holda

F(x,y,c)=0 (4)

tenglama c ning har bir tayinlangan c eC qiymatida koordinatalar tekisligida qandaydir chiziqni aniqlashi ma’lumdir. c parametrning C₀ sohaga tegishli qiymatlarida (14.3.4) tenglama koordinatalar tekisligida turli chiziqlarni tasvirlashi ravshandir. Umuman olganda ceC sohadan olingan qiymatlar bo‘yicha egri chiziqlarning qandaydir to‘plamiga ega bo‘lamiz. Bu to‘plam (4) tenglama vositasida c parametr bo‘yicha olingan chiziqlar oilasi deb yuritiladi.

Yuqorida

У'=Я^Х,У) (5)

birinchi tartibli differensial tenglamaning umumiy yechimi bitta c ixtiyoriy o‘zgarmasga bogdiq bo‘lishi va uning qabul qilishi mumkin bo‘lgan har bir tayin qiymatiga (5) ko‘rinishda ifodalangan deb faraz qilish mumkin. Demak, (5) differensial tenglamani yechish, geometrik nuqtai nazarda, tenglamasi shu (5)ni qanoatlantiradigan chiziqlar oilasini topishdan iborat ekan.

Endi teskari masalani, ya’ni (4) tenglama vositasida C parametrga bogdiq bоЧgan chiziqlar oilasi berilgan bо‘lsa, unga mos keluvchi (5) differensial tenglamani topishni ^raylik. Buning uchun (4) da c ning qiymati tayinlangan va undan y о‘zgaruvchi x ning funksiyasi sifatida aniqlanib, yana о‘rniga qо‘yilgan deb faraz qilinsa (buning uchun F(x,y,c) funksiya oshkormas funksiyaning mavjudligi shartlarini qanoatlantirishi talab qilinadi. 13.18- bandga qarang),bu tenglama ayniyatdan iborat Ьо‘НЬ qoladi va uni differensiallab,

f₊|4' = о (6)

ox dy

ni olamiz. Endi (4) ni c parametrga nisbatan yechib olingan ifodani (6) ga qо‘yib, undagi c parametrni уо^ЬЬ, (5) ^rinishni olish mumkin.

Masalan, y=cx² chiziqlar oilasini qarasak, ular 3-rasmda ifodalangan parabolalardan iboratdir.





c tayinlangan deb faraz qilib, bu tenglamani differensiallab,