Son tushunchasining rivojlanishi Sonlar tabiatni miqdor jihatdan boshqaradi deb aytish mumkin. J. Maksvell

Eyler (1707-1783) va nemis matematigi Iogann Genrix Lambert (1728-1777) esa agar cheksiz o’nli kasr davriy bo’lsa, u rasional sonni ifodalashligini isbotladilar, bu esa davriymas cheksiz o’nli kasrlarni irrasional sonlarga mos qo’yilishiga olib keldi. Shunday qilib, XVIII asr boshiga kelib irrasional sonlar to’g’risida uch fikr paydo bo’ldi: rasional sonlarning aniq chiqarilmaydigan ildizlari; har qanday aniqlikdagi rasional yaqinlashishlar ketma-ketligi; Nyuton ta’rifiga asoslangan sonlar. Oxirgi ta’rif fanda bir yarim asr hukm surgan bo’lsa ham haqiqiy sonlar nazariyasining yaratilishiga mantiqiy asos bo’lib xizmat qila olmadi.
Haqiqiy son tushunchasining rivoji va uni asoslash XIX asrda
B ye r n a r d B o l s a n o (1781 -1848), O g yu s t ye n L u i K o sh i (1789 -1857) va K a r l T ye o d o r V i l g ye l m V ye y ye r sh t r a s s (1815-1897) tomonidan limitga va matematik analizning boshqa asosiy tushunchalariga qat’iy ta’rif berilgandan so’nggina amalga oshirildi.
XIX asrning ikkinchi yarmida nemis matematigi Rixard Dedekind (1831 -1916) «Uzluksizlik va irrasional sonlar» (1872) asarida uzluksizlik va xaqiqiy son ta’rifini berdi, bunda u rasional sonlarning uchta xossasiga asoslandi:
1. bo’lsa, bo’ladi.
2. a va turli sonlar bo’lsa, u holda ular orasida yotuvchi cheksiz ko’p son mavjud.
3.Agar a biror son bo’lsa, u butun rasional sonlar to’plamini ikkiga va sinfga ajratadi: bunda
1)rasional sonlar to’plamining har qanday elementi bu sinflardan bittasiga va faqat bittasiga tegishli;
2) va sinflarning birortasi ham bo’sh emas;
3)birinchi sinfning har qanday soni ikkinchi sinfning har qanday
sonidan kichik.
Sonlarning bunday sinflarga bo’linishi D ye d ye k i n d k ye s i m i deb ataladi. Bu kesim orkali rasional va irrasional sonlar birgalikda haqiqiy-sonlar to’plami yoki kontinuum (lotincha-uzluksiz) tashkil etishi aniqlandi. So’ngra kontinuumni tartiblash, haqiqiy sonlarning zichligi va uzluksizligini isbotlash amalga oshirildi. Nihoyat, haqiqiy sonlar ustida amallar aniqlandi.
Dedekind nazariyasi bilan bir qatorda haqiqiy sonlar to’plamining boshqa nazariyalari - Kantor va Veyershtrass nazariyalari paydo bo’ldi. Ular ham rasional sonlarni asos qilib olib, bir-biridan kam farq qiladigan nazariyalarni yaratdilar.
Haqiqiy son tushunchasini yanada kengaytirish matematika fanini nazariy jihatdan rivojlantirish ehtiyojlari tufayli paydo bo’ldi. Shunday qilib, kompleks son tushunchasi vujudga keldi. Italyan matematigi R. Bombelli taxminan 1560 yillarda yozilgan va 1572 yilda chop etilgan «Algebra» asarida mavhum miqdorlarni kiritib, ular ustida amallar bajarishning oddiy qoidalarini keltirdi va ularni kub tenglamalarning keltirilmaydigan hollarini tekshirishga tatbiq etdi.
Kompleks son tushunchasini yanada rivojlantirishda fransuz olimi Fransua Viyet (1540-1603), ingliz olimi Vallis (1617-1703) va golland matematigi Albert Jirar (1592-1632) katta hissa qo’shdilar. Jumladan, Vallis 1685 yilda yozgan algebra bo’yicha asarida kompleks sonlarni geometrik tasvirlash g’oyasini bayon qilgan bo’lsa, Jirar «Algebrada yangi kashfiyotlar» (1629) asarida tenlamalarning manfiy ildizlarini qaradi hamda tenglamalarning manfiy ildizlariga yo’nalgan kesmalar sifatida geometrik tavsif berdi.
XIX asrda son tushunchasi yana ham umumlashtirilib, kompleks sonning umumlashgan shakli kashf etildi. Bu sonni birinchi bo’lib irland matematigi Uilyam Rouan Gamilton (1805-1865) va nemis matematigi Grassman German Gyunter (1809-1977) bir-biriga bog’liq bo’lmagan holda kiritdilar. Ular bir necha birlikka ega sonlar sistemalarining xususiy holi sifatida kompleks sonlar nazariyasining formal bayonini berdilar. Gamilton o’zaro quyidagi ko’paytirish jadvali bilan bog’langan to’rtta birlikka ega bo’lgan o’ziga xos sonlar sistemasi (kvarternionlar)ni yaratdi. Uning g’oyasi Grassman g’oyalariga yaqin edi, buning ustida 8 yil ishladi. Lekin Grassmanning bayoni o’zining aniqligi bilan faqat kvaternionlarnigina emas, balki kompleks sonlarning ham tan olinishida muhim rol o’ynadi.
1844 yilda Grassman Gamiltonga bog’liq bo’lmagan holda sonning umumlashgan shakli ko’rinishdagi sonlarni, ya’ni giperkompleks sonlarni o’rganishga kirishdi.
Xulosa qilib, shuni ta’kidlash kerakki, son tushunchasi insoniyat va matematika fani ehtiyojlari tufayli rivojlanib keldi hamda ko’pdan-ko’p matematik nazariyalarning taraqqiyotiga asos bo’lib xizmat qildi. Hozirgi paytda ham sonlar nazariyasi matematikaning mustaqil bo’limi sifatida yangi nazariyalarga asos yaratmoqda, shu bilan turli yo’nalishlar tatbiqlarida tobora kengroq qo’llanilmoqda.
Takrorlash uchun savollar:
1.Son tushunchasining rivojlanish bosqichlari qanday xususiyatlarga ega?
2.Irrasional sonlar paydo bo’lishi qanday amalga oshirilgan?
3.Haqiqiy sonlar vujudga kelishiga sabablar va bundagi yo’nalishlar haqida gapirib bering.
4.Kompleks son tushunchasi qanday paydo bo’lgan7
5. Son tushunchasining hozirgi davrdagi taraqqiyoti haqida nimalarni bilasiz?