Сонлар назариясининг аддитив масалалари

3-натижа.Агар а сониm модули бўйича кўрсаткичга тегишли бўлса, a^k сони кўрсаткичга тегишли бўлади.
Исботи. Фараз этайлик сони кўрсаткичга тегишли бўлсин. У ҳолда ва 1 – натижага кўра га бўлсак
Бу таққосламани қаноатлантирувчи энг кичик мусбат сон Хусусий ҳолда, агар (к,) = бўлса, =, яъни сони ҳам  кўрсаткичга тегишли бўлади.
Мисол. 1) Биз юқорида 2 сони 7 модули бўйича 3 кўрсаткичига тегишли эканлигини кўрган эдик. 2²=4 сони ҳам (2, 3)=1 бўлгани учун 3 кўрсаткичига тегишли бўлиши керак. .
Бундан кўринадики 4 сони ҳам 7 модули бўйича 3 кўрсаткичига тегишли.
2) 3 сони 7 модули бўйича 6 кўрсаткичига тегишли эди. 3⁴ сони 7 модули бўйича қайси кўрсаткичга тегишли эканлигини аниқлайлик. . Демак, 81=3⁴ сони 7 модули бўйича 3 кўрсаткичга тегишли бўлиши керак. Ҳақиқатан ҳам .
3. Кўрсаткичга қарашли синфларнинг мавжудлиги ва уларнинг сони. Биз бундан илгари ҳар бир (a,m)= шартни қаноатлантирувчиа сонинингm модули бўйича бирор кўрсаткичга тегишли эканлигини кўрдик. Бунинг тескариси, яъни нинг ҳар бир бўлувчиси m модули бўйича бирор синфнинг кўрсаткичи бўладими? Хусусан сони ҳамма бирор синфнингm модули бўйича кўрсаткичи бўладими? Яъни ихтиёрий m модули бўйича бошланғич илдиз мавжудми? Бу саволга фақат m=p – туб сон ҳамда m махсус (баъзи бир кўринишдаги бутун сонлар учун мавжуд) бўлиши мумкин.
Лемма.р-1 сонининг бўлувчиси модули бўйича ёки бирорта ҳам синфнинг кўрсаткичи бўлмайди ёки та синфнинг кўрсаткичи бўлади.
(Бу леммани бошқача қилиб қуйидагича айтиш мумкин. Агар р модули бўйича кўрсаткичга тегишли бирор синф мавжуд бўлса (бу ерда | р-1) , у ҳолда шундай синфлар сони бўлади).
Исботи:рмодули бўйича чегирмаларнинг келтирилган системасидаги кўрсаткичга қарашли чегирмалар сонини () билан белгилаймиз.
У ҳолда ҳозирча дея оламиз. Агар бўлса, лемма исботланган бўлади.
Фараз этайлик фақат бирта а сони р модули  кўрсаткичга тегишли бўлсин.У ҳолда . Энди  кўрсаткичга тегишли барча сонларни топишга ҳаракат қиламиз. Бу сонлар

таққосламани қаноатлантириши керак. (4) ни эса

даги барча чегирмалар қаноатлантиради, чунки

Бизга маълумки (5) даги сонлар р моули бўйича турли синфларга тегишли. Энди (5) даги сонлар орасидан  кўрсаткичга тегишлиларини ажратиб оламиз. Илгариги темадаги 3- натижага кўра, агар (,)= бўлса, сони кўрсаткичга тегишли бўлар эди. сонлари  модули бўйича чегирмаларнинг тўла системсини ташкил қилгани учун булар орасида (,)= шартни қаноатлантирувчилари сони та. Демак, .
Мисол. 4 сони 19 модули бўйича 9 кўрсаткичига тегишли нинг бўлувчилари 1,2,3,6,9.18. _.
Шу 9 кўрсаткичга mod 19 бўйича тегишли барча сонларни топинг. Леммага кўра ()=6 та синф.

ларини ажратиб оламиз. Булар дир.
Чунки 1,2,4,5,7,8 лар = 9 модули бўйича чегирмаларнинг келтирган системасини ташкил қилади.
Исботланган леммани
кўринишда ёзиш мумкин. У агар кўрсаткичга тегишли сонлар мавжуд бўлса. (modp бўйича) уларнинг сони га тенглигини билдиради. Лекин берилган учун р модул бўйича шу кўрсаткичга тегишли сон мавжуд ёки мавжуд эмаслигига жавоб бермайди. Бунга ушбу теорема жавоб беради.