Сонлар назариясининг аддитив масалалари

Теорема.р туб модул бўйича р-1 нинг ҳар бир бўлувчиси  учун шу  кўрсаткичга тегишли бўлган та синф мавжуд. Хусусан рмодули бўйича та бошланғич илдиз мавжуд.
Исботи. лар р-1 нинг барча бўлувчилари бўлсин. У ҳолда р модули бўйича чегирмаларнинг келтирилган системаси 1, 2, 3, … , р-1 сонларини улар тегишли бўлган кўрсаткичлар бўйича тақсимласак, яъни шу сонларнинг (₁) таси ₁ кўрсаткичга, (₂) таси ₂ кўрсаткичга ва ҳ.к. (_к) таси _ккўрсаткичга тегишли бўлса,

бўлади. Иккинчи томондан

Демак _.
(1) дан . Теорема исботланди.
Мисол. p=13 модули бўйича чегирмаларнинг келтирилган системаси1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12 даги сонлар тегишли бўлган кўрсаткичларни аниқланг. ни бўлувчилари 1,2,3,4,6,12. 1¹1.
Демак,1 сони 13 модули бўйича 1 кўрсаткичига тегишли. Шунингдек _.
Шундай қилиб 13 модули бўйича:

кўрсаткичга	Тегишли	Синфлар сони
1	1	1 та
2	12	1 та
3	3, 9	2 та
4	5, 8	2 та
6	4, 10	2 та
12	2, 6, 7,11	4 та

Жами р-1=12 та сон

Биз юқорида келтирган теореманинг исботи Гауссга тегишлидир.
Умуман бошланғич илдизлар модуллари бўйичагина мавжуд. Бу ерда р>2 туб сон ва
И.М.Виноградов р туб сон бўлса, у ҳолда дан катта бўлмаган бошланғич илдиз мавжуд эканлигини исботлаган бу ерда к сони р-1 нинг ҳар хил бўлувчилари сонидир. Бошланғич илдизни топишнинг эффектив усули эса ҳозиргача топилган эмас. Қараб чиқилганлардан агар
бўлса, у ҳолда g нинг рмодули бўйича бошланғич илдиз бўлиши келиб чиқади.