Сонлар назариясининг аддитив масалалари

МАВЗУ: БЎЛУВЧИЛАР СОНИНИ ИФОДАЛОВЧИ ФУНКЦИЯ ВА УНИНГ ЎРТА ҚИЙМАТИ ҲАҚИДА
РЕЖА:
1. d(n) функцияси ва унинг хоссалари.
2. d(n) нинг ўсиш тартиби
3. d(n) функциянинг ўрта қийматини ифодаловчи функция D(N) нинг ўсиш
тартиби.
4. Баъзи бир чекли йиғиндиларни баҳолаш.
5. Дирихле теоремалари.
6. Бўлувчилар функциялари учун Дирихле муаммоси.
Адабиётлар

1. d(n) - функцияси. d(n)- арифметик функцияси мусбат бутун nсонининг мусбат бўлувчилари сони билдиради.

1-теорема.d(n)- мультипликатив функция.
Илгари умумий курсда исботланган эди.
2-теорема. Агар бўлса, у ҳолда
.
d(n)- функциясини ҳам геометрик талқин қилиш мумкин. d(n) арифметик функция бу mенгламанинг бутун мусбат сонлардаги ечими сонини, яъни ўнг юқори квадратдаги гиперболада ётувчи бутун нуқталар сонини билдиради.
2. d(n) нинг ўсиш тартиби. 2-теоремадан кўринадики. d(n) функция
исталганча катта қийматлар қабул қилиши мумкин. Иккинчи томондан эса бўлса, d(n)=2. Демак, .
3-теорема.Ҳар бир сони учун

шартни қаноатлантирувчи n_i-бутун сонлар кетма-кетлиги мавжуд.

Исботи. бўлгани учун, к бутун сонини ушбу шартни қаноатлантирувчи қилиб аниқлаймиз. Фараз этайлик - чи туб сон бўлсин ва

бу ерда i ихтиёрий мусбат бутун сон. 2-теоремага кўра

бу ерда с доимий сон n_i га боғлиқ эмас.

(2) да i=1,2,3, … деб олиб мусбат бутун сонлар кетма-кетлигига эга бўламиз ва

тенгсизлик ўринли бўлади. Агарда биз деб олсак, (4) дан

Теорема исбот бўлди.
Иккинчи томондан қуйидаги теорема ўринли.
4-теорема.

Бу теоремани исботлаш учун биз қуйидаги леммадан фойдаланамиз.
Лемма. Агар f – мультипликатив арифметик функция ва
(бу ерда р-туб, m-мусбат бутун сон.) бўлса, (яъниnтуб сонларнинг даражаларига тенг бўлганда бўлса), у ҳолда бўлади.
Исботи. Лемма шартига кўра ; шунинг учун ҳам f функция ушбу шартларни қаноатлантиради:
Барча m ва p лар учун
I) шартни қаноатлантирувчи А мусбат доимий мавжуд;
II) Шундай В доимий сони мавжудки, агар бўлса,
III) бўлса, у ҳолда бўлади.
Тушунарлики, А ва В лар , m ва р ларга боғлиқ эмас,  эса фақат  га боғлиқ.
Фараз этайлик.

n>1- сонининг каноник ёйилмаси бўлсин.f – мультип-ликатив бўлгани учун

Барча туб сон даражада р^ ларни қараймиз.
Фараз этайлик (5) даги р^ шартни қаноатлантирувчи туб сон даражаларининг сони бўлсин. Буларга мос келувчилар учун (5) да ни қўллаймиз. Уларнинг кўпайтмаси абсолют қиймат жиҳатдан А^ дан кичик. қолганлари учун эса ни қўллаймиз уларнинг кўпайтмаси абсолют қиймат жиҳатдан 1 дан кичик.
Тушунарлики N() дан ошмайдиган р^ кўринишдаги сонлар сони чекли. Шунинг учун ҳам каноник ёйилмасидаги кўпайтувчилар фақат р^N() шартни қаноатлантирувчи чекли сондаги бутун сонлар мавжуд. p()- ана шу шартни қаноатлантирувчи бутун сонларнинг юқори чегараси яъни энг каттаси бўлсин
Агарда биз деб олсак, у ҳолда n нинг каноник ёйилмасида ҳеч бўлмаса бирта шартни қаноатлантирувчи р^ кўпайтувчи мавжуд бўлади. Бундан кўпайтувчилар учун (6) да биз (III) дан фойдаланамиз, у ҳолда
Демак, агар бўлса, у ҳолда _.Бу ерда келиб чиқади.
4-теореманинг исботи. функцияни қараймиз.
Бу функция мультипликатив ва

ва биз исботланган леммани қўллаб
га эга бўламиз. Теорема исбот бўлди.
Умуман бажарилади. Шунинг билан бирга nнинг чексиз кўпқийматлари учун

тенгсизлик ўринли бўлишини кўрсатиш мумкин.
3.D(N) нинг ўрта ўсиш тартиби.Ушбу йиғишда функцияни қараймиз

Маълумки

шунинг учун ҳам

ТушунарлиD(N) 1-квадратдаги ху=N гипербола билан координата ўқлари орасидаги бутун нуқталар сонига тенг (бунда координата ўқларида ётувчи бутун нуқталар ҳисобга олинмайди, чунки улар учун ху=0). D(N)- нинг ўсиши тартибини баҳолашда қуйидаги теоремадан фойдаланамиз.