Сонлар назариясининг аддитив масалалари

7- МАВЗУ: ИККИНЧИ ДАРАЖАЛИ ТАҚҚОСЛАМАЛАР
Режа:

1. 
   Иккинчи даражали таққосламалар ва уларнинг икки номаълумли иккинчи даражали аниқмас тенгламалар билан боғлиқлиги.
   
2. 
   Иккиҳадли таққосламага келтириш
   
3. 
   Ечимлари сони. Танлаш йўли билан ечимларини топиш. Квадратик чегирмалар сони.
   
4. 
   Эйлер критерияси.
   
5. 
   Лежандр символива унинг хоссалари.
   
6. 
   Адабиётлар [2,5,6].
   

1. Иккинчи даражали таққосламалар ва уларнинг икки номаълумли иккинчи даражали аниқмас тенгламалар билан боғлиқлиги. Иккинчи даражали таққосламанинг умумий кўриниши

дан иборат. Бу ушбу икки номаълумли аниқмас тенглама

га тенг кучли. (1) кўринишдаги таққосламани ечишга иккинчи даражали икки номаълумли аниқмас тенгламанинг умумий ҳоли ҳам келтирилади. Буни ечиш эса ўз навбатида Пелл тенгламаси нинг ечими билан ҳам боғлиқдир.
2. Иккиҳадли таққосламага келтириш (1) ни ҳамма вақт

кўринишга келтириш мумкин. Буни қуйидагича амалга оширилади. (1) нинг иккала томонини 4 А га кўпайтирамиз (модулини ҳам)

(4) дан
.
Бу ерда
деб олсак, _{ҳосил бўлади.}
Масалан:

Энди шу 4 та ечимлардан 2 модули бўйича берилган таққосламани қаноатлантирувчиларини ажратиб оламиз
.
Демак, берилган таққослама 24 модули бўйича 2 та ечимга эга.
Агар (3) таққосламада (a,m)=1 бўлиб, у ечимга эга бўлса а га m модули бўйича квадратик чегирма, агар ечимга эга бўлмаса квадратик чегирма эмас дейилади. Шунингдек агар таққослама ечимга эга бўлса, а га n – даражаличегирма, акс ҳолда эса а га m модули бўйича n- даражали чегирма эмас деб аталади.
(3) таққосламани ечиш умумий ҳолда
таққосламаларни ечишга келтирилади.
3. Ечимлари сони. Танлаш йўли билан ечимларини топиш. Квадратик чегирмалар сони.
Ушбу
(5)
таққослама берилган бўлсин.
Агар pа бўлса, тривиал ҳол бўлади, яъни . Шунинг учун ҳам деб ҳисоблаймиз. Тушунарлики агар (5)нинг ечими бўлса ҳам (5) нинг ечими бўлади. чунки дан ва келиб чиқади, у ҳолда га зиддир. Шундай қилиб (5) ечимга эга бўлса, у 2 та ҳар хил ечимга эга бўлар экан. (5) ечимларини танлаш усули билан топиш жараёни умумий ҳолга нисбатан анча содда. Бу ерда биз р модули чегирмаларнинг келтирилган системасини абсолют қиймати жиҳатидан энг кичик система кўринишда ёзиб олиб
(6)
мусбат ва манфий чегирмаларнинг (5) ни қаноатлантириш ёки қаноатлантирмаслиги бир вақтда текширишимиз мумкин.
Шунинг учун ҳам (5) да х нинг ўрнига ларни қўйиб текшириш етарли. Бунда чап томонда:

ҳосил бўлади. Булардан бирортаси, масалан билан modp бўйича таққосланувчи бўлса, у ҳолда га эга бўламиз. Шу билан бирга фақат бўйича (7) да бирорта сон билан таққосланувчи бўлган (5) кўринишдаги таққосламаларгина ечимга эга. Бошқача сўз билан айтганда (7) да бўйича квадратик чегирмалар ёзилган.
Уларнинг барчаси ҳар хил синфларга тегишли. Ҳақиқатан ҳам, агар бўлиб бўлса,у ҳолда (5) 4 та ечимга эга бўлади. Бунинг бўлиши мумкин эмас.
Шундай қилиб mod p бўйича квадратик чегирмалар сони га тенг ва шунинг учун ҳам квадратик чегирма эмаслар сон сони ҳам га тенг бўлади.
Мисол. бўйича энг кичик мусбат квадратик чегирмаларни аниқланг.
Уларнинг сони та. Улар
Буларни бўйича энг кичик мусбат чегирмалар кўринишда ёзиб олсак,

Демак, бўйича изланаётган квадратик чегирмалар:1, 2, 4, 8, 9, 13, 15. 16
қолганлари 3, 5, 6, 7, 10, 11, 12, 14 квадратик чегирма эмаслар.

4. Эйлер критерияси. (5) нинг ечимга эга ёки эга эмаслигини аниқлаш учун Эйлер томонидан таклиф этилган ушбу критериядан фойдаланиш қулай:

Агар а сони modp бўйича квадратик чегирма бўлса, бўлади.
Агара сони modp бўйича квадратик чегирма бўлмаса, у ҳолда бўлади.
Ҳақиқатан ҳам агар ва бўлса, бўлади(Ферма теоремаси).
Бундан ёки .
Бу ерда бу қавсларнинг ҳеч бўлмаса бирортаси р га бўлиниши керак. Уларнинг иккаласи бир вақтдар га бўлинмайди, акс ҳолда уларнинг айирмаси 2 ҳам р га бўлинар эди, лекин .
Агара квадратик чегирмаа бўлса,
(8)
бажарилади. Ҳақиқатан ҳам, бу ҳолда шундай х, мавжудки . Бундан .
Бу ерда (8) таққосламадаа ни ўзгарувчи деб қарасак у та ечимга эга бўлади.
Бу ердан агар бўйича квадратик чегирма эмас бўлса, у ҳолда бажарилади.
Мисол. таққослама нечта ечимга эга.
. Демак бу таққослама 2 та ечимга эга.
5. Лежандр символи ва унинг хоссалари. а сонининг р модули бўйича квадратик чегирма ёки чегирма эмаслигини аниқлашда Эйлер критериясидан фойдаланиш р катта бўлса унча ҳам қулай эмас. Шунинг учун Лежандр символи қўлланилади. У қуйидагича аниқланади:

Лежандр символи таърифидан ва Эйлер критериясидан

келиб чиқади. Лежандр символи қуйидаги хоссаларга эга.
1⁰. Агар
Бундан
Лежандр символининг қийматини шу хоссалардан фойдаланиб ҳисоблаш мумкин. 6⁰ – хоссага квадратик чегирмаларнинг ўзгалик қонун дейилади.
Мисол. ечимга эгами?

Демак берилган таққослама ечимга эга эмас.