Сонлар назариясининг аддитив масалалари

3-теорема. Бош ҳадининг коэффициенти 1 га тенг бўлган, n-даражали (n таққослама нинг n та ечимга эга бўлиши учун х^р-х ни га бўлгандаги қолдиқнинг барча коэффициентларининг р га бўлиниши зарур ва етарлидир.
Исботи:

деб ёза оламиз.
дар. лар бутун коэффициентли.
а). таққослама n та ечимга эга бўлсин. У ҳолда ҳам шуn та ечимга эга. (()га қаранг). нинг даражаси бўлгани сабабли натижага кўра унинг барча коэффициентлари р га бўлинади.
б). Агарда нинг барча коэффициентлари р га бўлинса, таққослама айний таққослама бўлади ((7) га қаранг), яъни рта ечимга эга. Бу таққосламанинг ихтиёрий ечими ёки нинг ечими бўлади, яъни бу таққосламанинг ечимлари сони р тадан кам эмас. Уларнинг ечимлари сонини мос равишда n₁ ва n₂деб белгиласак . Бу ерда бўлганидан бўлиши керак. Лекин , У ҳолда .
таққослама 3 та ечимга эгами ёки йўқ.
яъни бўлгани учун теореманинг шарти бажарилмайди. Таққослама 3 та ечимга эга эмас.
4-теорема. Агар р туб сон бўлса, у ҳолда

Исботи. Ушбу таққосламани қараймиз: _.Бу таққослама рга бўлинмайдиган х учун ўринли (Ферма теоремаси), яъни р-1 та 1,2, …, р-1 ечимларга эга. У ҳолда Бунда хқ0 деб олсак Агар р>2 бўлса, бунда _.
Агар рқ2 бўлса, ҳам бу таққослама ўринли.
Теорема исбот бўлди.
(8)- таққослама агар р туб сон бўлмаса, бажарилмайди.
Ҳақиқатан ҳам агарда бўлса сони d га бўлинади, у ҳолда сони d га бўлинмайди, шунинг учун ҳам р га бўлинмайди.
Демак, ушбу тескари теорема ҳам ўринли экан.
5-теорема. Агар бутун мусбат р сони учун (8) таққослама ўринли бўлса, р-туб сон бўлади.
Шундай қилиб Вильсон теоремасини туб сонларни аниқлаш критерияси деб қабул қилиш мумкин, лекин сони катта р лар учун жуда катта сон бўлгани учун амалиётда қўллаш ноқулай.
Мисол: 1) 10 !+1 сонини 11 га бўлишдан чиққан қолдиқни топинг. p=11. Вильсон теоремасига кўра _,яъни изланаётган қолдиқ 0 га тенг.
2) 12 ! ни 13 га бўлишдан чиққан қолдиқни топинг.
Демак, қолдиқ 12 га тенг.