Сонлар назариясининг аддитив масалалари

3-мисол. таққосламани ечинг.
Бу ерда (5,8)қ1 ва 8 –модули бўйича чегирмаларнинг тўла системаси Буларни қўйиб текшириб берилган таққосламани ечими эканлигини аниқлаймиз.
Энди, фараз этайлик бўлсин. Бу ҳолда агар b сони dга бўлинса деб олиб (2) дан

таққосламани хосил қиламиз. Бу (3) таққослама эса юқорида қараб чиқилган ҳолга кўра ягона ечим га эга бўлади. Биз mмодули бўйича (m=m₁·d) (2) таққосламанинг ечимларини топишимиз керак. Бунинг учун (3) нинг ечимлари

модул бўйича нечта ҳар хил синфга тегишли эканлигини аниқлашимиз керак. Тушунарли (4) даги сонлар d та синфга тегишли бу синфлар сифатида

олиш мумкин. Демак (2) нинг бу ҳолдаd та ечимига эга бўламиз.
Агарда (а,m)=d>1 бўлиб b сониd га бўлинмаса , у ҳолда (2)-таққослама бирорта ҳам ечимга эга эмас.Чунки бу ҳолда (2) дан ёки тенгликга эга бўламиз. b сони dга бўлинмаганлиги учун бу тенгликнинг бажарилиши мумкин эмас.
Шундай қилиб биз қуйидаги теоремани исботладик.
Теорема. 1). Агар (a,m)=1 бўлса у ҳолда (2) таққослама ягона ечимга эга;
2) Агарда (а,m)=d>1 ва db бўлса, у ҳолда (2) таққослама d та ечимга эга;
3) Агарда (а,m)=d>1 бўлиб b сониd га бўлинмаса бўлса, у ҳолда (2) –таққослама бирорта ҳам ечимга эга эмас.
3. (2)-таққосламанинг ечимини топиш учун юқорида қараб чиқилган танлаш усулини қўллаш мумкин. Лекин бу усул mмодул катта бўлса, чегирмалар синфлари сон кўп бўлган учун амалий жиҳатдан ноқулайдир. (2)-таққосламани ечишнинг яна бир усули бу таққосламаларнинг хоссаларидан фойдаланиб коэффициентларини алмаштириш усулидир.
Мисоларга мурожаат этайлик.
4-мисол. таққосламани ечинг.
(5,8)қ1 бўлганли учун бу таққослама ягона ечимга эга. Таққосламанинг исталган томонига модулга каррали сонни қўшиш ёки айириш мумкин:
.
Таққосламанинг иккала томонини модул билан ўзаро туб сонга қисқартириш мумкин бўлгани учун .