Сонлар назариясининг аддитив масалалари

Мисоллар.1).

Евклид алгоритмидан фойдаланиб ҳам шуни ҳосил қиламиз. Бу мисоллардан кўринадики тўғри мусбат касрни узлуксиз касрга ёйсак бўлади. Агарда манфий касрни узлуксиз касрга ёйсак биринчи элементи бўлади, чунки манфий соннинг бутун қисми манфий, каср қисми эса ҳамма вақт мусбат сондир.
Шунингдек ҳар қандай бутун сонни mқ(m) бир элементли узлуксиз каср деб, ҳар қандай кўринишдаги тўғри касрни эса деб қараш мумкин.
3. Узлуксиз касрларнинг татбиқларида муносиб касрлар деб аталувчи ушбу касрлар муҳим аҳамиятга эга:
ёки _.
Тушунарлики . га одатда к-тартибли муносиб каср дейилади. Энди деб олиб уни ҳисоблашни қараб чиқамиз. ни ҳосил қилиш учун билан алмаштириш керак.
.
бундан кейин доимо P₀қ1, Q₀қ0 деб оламиз.

ва ҳ.к .Энди фараз этайлик.

Демак математик индукция методига кўра

формула учун ўринли. Муносиб касрларни ҳисоблашда қуйидаги жавдал анча қулай

qi		Q1	q2		qk-2	qk-1	qk		qn
Рi	P0=1	P1=q1	P2		Pk-2	Pk-1	Pk		Pn
Qi	Qoқ0	Q1=1	Q2		Qk-2	Qk-1	Qk		Qn

Мисол. 1-мисолда эди. ни ҳисоблайлик:

qi		2	3	1	4	2
Pi	P0=1	2	7	9	43	95
Qi	Q0=0	1	3	4	19	42

.
Энди муносиб касрларнинг хоссаларини караймиз.
1⁰. Агар деб олсак, (5) дан
бу ердан қисқармас каср деган хулосага келамиз, чунки (Р_k, Q_k)қ1
2⁰.
Ҳақиқатан ҳам .
Бу ердан 2 та қўшни муносиб каср орасидаги мосафа
Шуни ҳам таъкидлаш керакки иррационал сонларни ҳам узлуксиз касрга ёйиш мумкин лекин бу ёйилмадаги чала бўлинмалар сони чексиз бўлади.



3-МАВЗУ: БИРИНЧИ ДАРАЖАЛИ ТАҚҚОСЛАМАЛАРНИ УЗЛУКСИЗ КАСРЛАР ЁРДАМИДА ЕЧИШ
Р Е Ж А:
1. Ечимини топиш формуласи.
2. Мисоллар.
3. Муносиб касрларнинг аниқмас тенгламаларни ечишга татбиқи.
4. Биринчи даражали таққосламаларнинг икки номаълумли биринчи
даражали аниқмас тенгламаларни ечишга тадбиқи.
Адабиётлар. [ 2, 3,6,7].

1. Фараз этайлик.

таққослама берилган бўлсин. касрни узлуксиз касрларга ёйамиз ва - тартибли муносиб каср бўлсин. У ҳолда . Шунинг учун ҳам
тенгликдан га эга бўламиз. Бу тенгликнинг иккала томонини га кўпайтирсак, (1) ва (3) дан
ни ҳосил қиламиз.
1-мисол. таққосламани ечинг.
(285, 924)қ3 ва 177сони 3 га бўлинади. Шунинг учун берилган таққослама 3 та ечимга эга. Унинг модули ва иккала томонини 3 га қисқартириб ни ҳосил қиламиз. ни узлуксиз касрга ёйамиз.

qi		3	4	7	1	2
Pi	1	3	13	94	107	308

n=5, P_n-1=P₄=107.
.
Демак, берилган таққосламанинг ечимлари: .
Ушбу

аниқмас тенгламанинг бирта ечимини топиш талаб қилинсин. У ҳолда(а,b)=1 деб қараб ни узлуксиз касрга ёйиб муносиб каср ларни ҳисоблаймиз. (2)дан . Бу тенгликни га кўпайтириб
га эга бўламиз.
(5) ва (6) дан
,
2-мисол. тенгламанинг бирорта ечимини топинг. Бу ерда (57,17)=1

qi		3	8	2
Pi	1	3	25	53
Qi	0	1	8	17

Демакn=3, c=25, Q_n-1=8, P_n-1=25.
Шунинг учун ҳам (7) дан
4. Энди (5) таққосламани ечишни бошқа усулини қарайлик (5) ни қуйидагича ёзиб оламиз:
Бу тенгликдан таққослама ўтсак,
(8)
н и ҳосил қиламиз. Бу ерда биз ҳамма вақт деб олишимиз мумкин. Агарда (а,b)=1 бўлса, (8) таққослама ягона ечимга эга. У ҳолда (5) дан уни аниқлаш учун ушбу тенгламани ҳосил қиламиз.
бутун сон бўлиши керак,t=0 да қиймат ҳосил бўлади. Шундай қилиб (5) тенгламанинг умумий ечими
Мисоллар. 1) тенгламани ечинг. Бундан
Илгари топилган хусусий ечим t= -12 да ҳосил бўлади.
2) 14 сўм 50 тийинга 30 ва 50 тийинлик билетлардан қанча сотиб олиш мумкин.

t	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
x	0	5	10	15	20	25	30	35	40	45
у	29	26	23	20	17	14	11	8	5	2

4-МАВЗУ: ТУБ МОДУЛ БЎЙИЧА n- ДАРАЖАЛИ ТАҚҚОСЛАМАЛАР.
РЕЖА:
1. Соддароқ кўринишга келтириш:
2. Ечимларининг максимал сони ҳақида.
3. Вильсон теоремаси.
Адабиётлар[2,3,5,6,7].
1. Ушбу
₍₁₎
таққослама берилган бўлсин.
Энг аввало сонларини р модули бўйича абсолют қиймати жиҳатидан энг кичик чегирмалар билан алмаштирсак (1) таққослама бироз соддарок кўринишга келади. Масалан:

Иккинчидан (1) ни ҳамма вақт бош ҳадининг коэффициенти 1 га тенг бўлган ҳолга келтириш мумкин, чунки , таққослама бўлгани учун ягона ечимга эга ва (1) нинг иккала томонини а га кўпайтирсак нинг коэффициентини 1 билан алмаштириш мумкин бўлади.
.
(2^’) нинг иккала томонини 4 га кўпайтирамиз, у ҳолда
.
Учинчидан ушбу теорема ёрдамида берилган таққосламани анча соддалаштириш мумкин.
1-теорема. Туб модули бўйича n-даражали таққослама, шу модул бўйича даражаси р-1дан катта бўлмаган таққосламага тенг кучлидир.
Исботи. га бўламиз. У ҳолда

деб ёза оламиз. Бу ерда Q(x) ва R(х) лар бутун коэффициентли кўпҳадлар бўлиб кўринишда ёзиш мумкин. Ферма теоремасига кўра: бўлганлиги сабабли

ни ҳосил қиламиз. Теорема исбот бўлди.
Амалиётда га бўлиш шарт эмас. Бунинг учун ни даражасини
р-1 дан катта бўлмаган ҳад билан алмаштириш учун m ни р-1 га бўламиз.
У ҳолда таққосламанинг икки томонини мос равишда ларга кўпайтирсак,

ҳосилбўлади. Булардан

Бу эса юқоридаги теореманинг яна бир исботидир.
Мисол.
таққосламани даражаси таққослама билан алмаштиринг.