Сонлар назариясининг аддитив масалалари

1-МАВЗУ: БИР НОМАЪЛУМЛИ ТАҚҚОСЛАМАЛАР.
БИРИНЧИ ДАРАЖАЛИ БИР НОМАЪЛУМЛИ ТАҚҚОСЛАМАЛАРНИ ЕЧИШ.
РЕЖА:
1. Ихтиёрий даражали таққосламалар ечимлари синфлари.
2. Биринчи даражали таққосламаларнинг ечимга эга бўлишлик шарти ва ечимлари сони.
3. Биринчи даражали таққосламаларни ечиш усуллари.
а) Танлаш усули;
б) Коэффициентларини ўзгартириш;
в) Эйлер теоремасидан фойдаланиш.
Адабиётлар: [2, 3,5,6,7].

1. Фараз қилайлик f(x) n-даражали бутун коэффициентли кўпҳад бўлсин, яъни . Бу ерда . У ҳолда

(1)
таққосламага n-даражали бир номаълумли таққослама дейилади.
(1) да сони mга бўлинмайди.(1) ни ечиш бу уни қаноатлантирувчи барча x ларни топиш демакдир. Лекинда агар (1) нинг ечимларидан бири бўлса, яъни бўлса, у ҳолда таққосламани қаноатлантирувчи барча сонлар ҳам (1) нинг ечими бўлади. Ҳақиқатан ҳам ни деб ёза оламиз. Буни (1) га олиб бориб қўйсак:

Бундан таққосламага ўтсак, ни ҳосил қиламиз. Шунинг учун ҳам (1) ечими, деганда алоҳида олинган бирта сон эмас, балки синф бирта ечим деб тушунилади. mмодул бўйича m та чегирмалар синфлари мавжуд бўлганлиги сабабли (1 ) нинг барча ечимларини m модули бўйича чегирмаларнинг тўла системасидагичегирмаларни қўйиб синаб кўриш йўли билан топиш мумкин. Бу усулга танлаш усули дейилади.
1- мисол. таққосламани ечинг.
7 модули бўйича чегирмаларнинг тўла системасини, текшириш қулай бўлсин учун абсолют қиймати жиҳатидан энг кичик чегирмалар системаси кўриниш-да ёзиб оламиз. Берилган таққосламага бу сонларни қўйиб текширсак фақат уни қаноатлантиради, демак берилган таққосламанинг ягона ечими.
2-мисол. таққосламани ечинг.
Бу ерда 3 модули бўйича абсолют қиймати жиҳатидан энг кичик чегирмаларнинг тўла системаси дан иборат, лекин буларнинг бирортаси ҳам берилган таққосламани қаноатлантирмайди, яъни берилган таққослама ечимга эга эмас.
Агарда берилган таққосламани ихтиёрий бутун сон қаноатлантирса, у ҳолда бу таққосламага айний таққослама дейилади.
Айний таққосламага мисол сифатида Ферма теоремасидан келиб чиқадиган (р-туб сон) таққосламани олиш мумкин. Шунингдек агар f(x) кўпҳаднинг барча коэффициентлар m га бўлинса, таққослама айний таққослама бўлади.
2. Биринчи даражаси таққосламани ҳамма вақт
(2)
кўринишга келтириш мумкин. Шунинг учун ҳам биз (2) ни текширамиз. Аввало фараз этайлик (a,m)=1, бўлсин. У ҳолда бўйича чегираларнинг тўла системаси қабул қилса ах ҳам шу системаси қабул қилади. Шунинг учун ҳам х нинг фақат бирта х=х₁ қийматида ах сони в тегишли бўлган синфга қарашли бўлади. Шу қийматда га эга бўламиз. Шундай қилиб, агар (a,m)=1 бўлса, (2) таққослама бирта (ягона) ечимга эга бўлар экан.