Sonli qatorlar

2⁰. YAqinlashuvchi qatorlarning xossalari. Aytaylik, biror
(1)
qator berilgan bo`lsin.
Ushbu
(2)
qator (bunda tayinlangan natural son) (1) qatorning qoldig`i deyiladi.
1-xossa. Agar (1) qator yaqinlashuvchi bo`lsa, (2) qator ham yaqinlashuvchi bo`ladi va aksincha; (2) qatorning yaqinla-shuvchi bo`lishidan (1) qatorning yaqinlashuvchiligi kelib chiqadi.
◄ (1) qatorning qismiy yig`indisi

(2) qatorning qismiy yig`indisi

lar uchun
(3)
bo`ladi.
Aytaylik, (1) qator yaqinlashuvchi bo`lsin. Unda da chekli limitga ega bo`lib, (3) munosabatga ko`ra da ham chekli limitga ega bo`ladi. Demak, (2) qator yaqinlashuvchi.
Aytaylik, (2) qator yaqinlashuvchi bo`lsin. Unda da chekli limitga ega bo`ladi. YAna (3) munosabatga ko`ra da ham chekli limitga ega bo`ladi. Demak, (1) qator yaqinlashuvchi. ►
2-xossa. Agar

qator yaqinlashuvchi bo`lib, uning yig`indisi ga teng bo`lsa, u holda

qator ham yaqinlashuvchi va uning yig`indisi ga teng bo`ladi, bunda bo`lgan o`zgarmas son.
3-xossa. Agar
,

qatorlar yaqinlashuvchi bo`lib, ularning yig`indisi mos ravishda va ga teng bo`lsa, u holda

qator ham yaqinlashuvchi va uning yig`indisi ga teng bo`ladi.
2) va 3)- xossalarning isboti sonli qatorlar va ularning yaqinlashuvchiligi ta`rifidan bevosita kelib chiqadi.
4-xossa. Agar

qator yaqinlashuvchi bo`lsa, da nolga intiladi:

◄ Aytaylik, qator yaqinlashuvchi bo`lib, uning yig`indisi ga teng bo`lsin: Ta`rifga binoan
.
Ravshanki,

bo`ladi. Keyingi tenglikdan topamiz:
. ►
Eslatma. Qatorning umumiy hadi ning da nolga intilishidan uning yaqinlashuvchi bo`lishi har doim kelib chiqavermaydi. Masalan, ushbu

qatorning umumiy hadi bo`lib, u da nolga intiladi. Ammo bu qator uzoqlashuvchi , chunki

ketma-ketlik da ga intiladi:
.
YUqorida keltirilgan 4)- xossa qator yaqinlashuvchi bo`lishining zaruriy shartini ifodalaydi.
5-xossa. Aytaylik,
(1)
qator berilgan bo`lsin. Bu qatorning hadlarini guruxlab quyidagi
(4)
qatorni hosil qilamiz, bunda

bo`lib, ketma-ketlik natural sonlar ketma-ketligi ning qismiy ketma-ketligi.
Agar (1) qator yaqinlashuvchi bo`lib, uning yig`indisi ga teng bo`lsa, u holda (4) qator ham yaqinlashuvchi va yig`indisi bo`ladi.
◄ (1) qator yaqinlashuvchi bo`lib, yigindisi ga teng bo`lsin. U holda
da
bo`ladi.
Aytaylik, (4) qatorning qismiy yig`indilaridan iborat ketma-ketlik bo`lsin Ravshanki, bu ketma-ketlik ketma-ketlikning qismiy ketma-ketligi bo`ladi. Ma`lum teoremaga ko`ra
da
bo`ladi. Demak, (4) qator yaqinlashuvchi va uning yig`indisi ga teng. ►