Sonlu kanat üzerindeki sikiştirilamaz akiş


Download 184.56 Kb.

Sana29.11.2017
Hajmi184.56 Kb.

SONLU KANAT ÜZERİNDEKİ

SIKIŞTIRILAMAZ AKIŞ

Sonlu bir kanadın aerodinamik karakteristikleri, bu kanadın profillerinin özelliklerinden 

neden farklıdır?

Bunun nedeni profil etrafındaki akışın iki boyutlu olması, kanadın ise üç boyutlu bir yapı

olması nedeniyle üzerindeki akışın üç boyutlu olması yani kanat açıklığı yönünde bir akış

bileşeninin ortaya çıkmasıdır.

Kanat üzerinde taşıma yaratan fiziksel mekanizma alt yüzeyindeki yüksek basınç ile üst 

yüzeyindeki düşük basınç ve bu farkın yarattığı dengesizliktir.

Bu dengesizlik aynı zamanda kanat ucu civarında akımın alt yüzeyden üst yüzeye doğru 

kıvrılmasına yol açar.



1

Kanadın üst yüzeyindeki akım kanat köküne doğru, kanat alt yüzeyindeki akım ise kanat 

ucuna doğru yönlenir. Böylece üç boyutlu ve kanat profilinden farklı bir akım yapısı

ortaya çıkar. 

Akımın kanat uçlarından kaçması kanat ucu 

girdaplarının üretilmesine yol açar. Bu 

girdaplar kanat ucunda başlayarak akım 

aşağısına doğru uzanırlar. 

2


Kanat ucu girdapları kanat üzerinde aşağıya doğru yönlenmiş bir hız bileşenine neden 

olurlar. Bu bileşene sağanak denir, ile gösterilir. 

Sağanak ve serbest akım hızının birleşimi, kanadın her profilinde yerel akım hızını

aşağıya doğru saptıracak bir etki oluşturur.

Yerel kanat profili tarafından görülen 

hücum açısı veterle yerel göreceli hız 

arasındaki açıdır. Buna etkin hücum 

açısı α

eff

denir. Bu açı geometrik 



hücum açısı α’dan küçüktür. 

i

α

α



α

=



eff

Yerel taşıma vektörü yerel göreceli 

hıza dik olduğu için düşey doğrultuya 

göre α



i

açısındadır ve bu nedenle V

yönünde bir bileşeni ortaya çıkar. Buna 



indüklenmiş sürüklemeD

i

denir. 


3

SONLU KANATTA NOTASYON

Sesaltı akışta gerçek durumda sonlu bir 

kanadın toplam sürüklemesi: 

İndüklenmiş Sürükleme + Sürtünme 

Sürüklemesi + Basınç Sürüklemesi

D

top


D

i

D



f

D



p

D

f

D



p

= Profil Sürüklemesi, c



d

İnce kanat profili gibi iki boyutlu cisimlerde 

birim açıklık başına:

L′ taşıma kuvveti,  c

l

taşıma katsayısı



D′ sürükleme kuv., c

d

sürükleme katsayısı



M′ moment, 

c

m

moment katsayısını

göstermekteydi.

S

q

D

D

c

p

f

d

+



=

Sonlu kanat gibi üç boyutlu cisimlerde:



taşıma kuvveti,  C

L

taşıma katsayısı



sürükleme kuv., C

D

sürükleme katsayısı



moment, 

C

M

moment katsayısını

göstermektedir.

İndüklenmiş sürükleme 

katsayısı

S

q

D

C

i

i

D

=



,

Toplam sürükleme katsayısı:



i

D

d

D

C

c

C

,

+



=

4

GİRDAP FLAMANI, BIOT SAVART YASASI VE HELMHOLTZ TEOREMLERİ

Genel eğrisel bir girdap 

flamanı tarafından bir P

noktasında indüklenen hız:

3

4

r



r

dl

dV

×

Γ



=

π

Biot-Savart yasası

Biot-Savart yasasını düz bir 

girdap flamanına uygulayalım:





×

Γ



=

3

4



r

r

dl

V

π





Γ

=

dl



r

V

2

sin



4

θ

π



θ

θ

θ



θ

d

h

dl

h

l

h

r

2

sin



tan

sin


=

=



=



Γ

=



Γ

=



0



2

 

sin



 

4

sin



4

π

θ



θ

π

θ



π

d

h

dl

r

V

h

V

 

2



π

Γ

=



5

Yarı sonsuz girdap flamanı için:

Helmholtz Girdap Teoremleri:

1. Bir girdap flamanının şiddeti uzunluğu boyunca sabittir.

2. Bir girdap flamanı akışkan içinde bitmez, ya akışkanın sınırlarına kadar uzanmalı

(±∞ olabilir) ya da kapalı bir yol oluşturmalıdır.

Bu teoremleri daha sonraki bölümlerde kullanacağız.

Sonlu bir kanattaki taşıma dağılımı

6


PRANDTL’IN KLASİK TAŞIMA-ÇİZGİSİ TEORİSİ:

Sonlu bir kanat, bağlı girdap denilen, akış içinde sabit bir noktada bulunan Γ şiddetindeki 

bir girdap flamanı ve bunun uçlarından akım aşağısına devam eden uç girdapları ile 

modellenebilir. Buna atnalı girdabı denir.



7

Tek bir atnalı girdap sisteminin uç

girdapları tarafından indüklediği 

sağanak hız dağılımı:

)

2



(

 

4



)

2



4

)

(



y

b/

y

b/

y

w

Γ



+

Γ



=

π



π

2

2



)

2

(



 

4

)



(

y

b/

b

y

w

Γ



=

π



Sağanak hızının kanat ucunda sonsuza 

giden değeri doğru değil!



8

Bunu düzeltmek için bir tek atnalı girdap yerine, her birinin farklı uzunlukta bağlı

girdabı olan ancak tüm bağlı girdapların aynı çizgi üzerinde olduğu çok sayıda 

atnalı girdap kullanalım. Bu çizgiye taşıma çizgisi denir.

Sonlu sayıda atnalı girdabı yerinde sonsuz sayıda atnalı girdabı alırsak uç girdapları bir 



sürekli girdap caddesi oluştururlar.

9

Ortaya çıkan taşıma çizgisinden sonsuz küçük bir dy çizgi parçası alalım.

dy parçası üzerinde dolaşımın değişimi dΓ = (dΓ/dy)dy.

y’deki yarı sonsuz uç girdabının y

0

’da indüklediği dw hızı Biot-Savart yasasına göre



yazılabilir:

)



4

 )

/



(

0

y



y

dy

dy

d

dw

Γ



=

π



10

Tüm girdap caddesi tarafından y

0

’da indüklenen hız:





Γ

=



2

/

2



/

0

0



 

 )

/



(

4

1



)

(

b



b

y

y

dy

dy

d

y

w

π

Verilen bir sonlu kanat için Γ(y)’i ve buna karşılık gelen toplam taşıma ve indüklenmiş



sürüklemeyi hesaplamak istiyoruz. 

Herhangi bir  y

açıklık değerindeki 



profil kesitini düşünelim:

⎟⎟



⎜⎜



⎛ −

=





V

y

w

y

i

)

(



tan

)

(



0

1

0



α

Genelde << V

, => α



i

küçüktür


=



V

y

w

y

i

)

(



)

(

0



0

α





Γ

=



2

/

2



/

0

0



 

 )

/



(

 

4



1

)

(



b

b

i

y

y

dy

dy

d

V

y

π

α



11

Etkin hücum açısını düşünürsek α

eff


α

eff


(y

0

). 



Kanat profili için taşıma katsayısı önceki konuda bulunmuştu:

[

]



[

]

0



0

eff


0

0

eff



0

)

(



2

)

(



=

=



=

=



L

L

l

y

y

a

c

α

α



π

α

α



Kutta-Joukovski teoreminden:

)

(



)

(

0



0

2

2



1

y

V

c

y

c

V

L

l

Γ

=



=





ρ

ρ

)



(

)

(



2

0

0



y

c

V

y

c

l

Γ



=

0

0



0

eff


)

(

)



(

=



+

Γ

=



L

y

c

V

y

α

π



α

i

α

α



α

=



eff

i

α

α



α

+

=



eff



=



Γ

+



+

Γ

=



2

/

2



/

0

0



0

0

0



0

 

 )



/

(

 



4

1

)



(

)

(



 

)

(



)

(

b



b

L

y

y

dy

dy

d

V

y

y

c

V

y

y

π

α



π

α

Prandtl’ın taşıma çizgisi 



teorisinin temel denklemi

12

Yukarıdaki temel denklemin çözülmesiyle elde edilecek olan 

Γ = Γ(y) çözümü bize sonlu 

bir kanadın üç temel aerodinamik karakteristiğini aşağıdaki şekilde verir.

1. Taşıma dağılımı Kutta-Joukowski teoreminden elde edilir:

)

(

)



(

0

0



y

V

y

L

Γ

=





ρ

2. Toplam taşıma yukarıdaki denklemin açıklık boyunca entegrasyonuyla elde edilir:







Γ

=



=

2

/



2

/

2



/

2

/



)

(

)



(

b

b

b

b

dy

y

V

L

dy

y

L

L

ρ





Γ

=

=



2

/

2



/

)

(



2

b

b

L

dy

y

S

V

S

q

L

C

Taşıma katsayısı:

3. İndüklenmiş sürükleme geometriden:

i

i

i

L

D

α

sin



=



i

i

i

L

D

α



=



α



i

küçük olduğundan

Toplam indüklenmiş sürükleme yukarıdaki denklemin açıklık boyunca 

entegrasyonu ile elde edilir.







Γ

=



=

2

/



2

/

2



/

2

/



 )

(

)



(

 )

(



)

(

b



b

i

i

b

b

i

i

dy

y

y

V

D

dy

y

y

L

D

α

ρ



α



Γ



=

=

2



/

2

/



,

 )

(



)

(

2



b

b

i

i

i

D

dy

y

y

S

V

S

q

D

C

α

13



Sonuç olarak sonlu kanadın aerodinamik karakteristikleri temel denklemin çözülmesiyle 

elde edilecek olan 

Γ = Γ(y) ile bulunacaktır. 

Genel çözümü incelemeden önce eliptik taşıma dağılımı ile verilen özel bir hali 

inceleyelim.

ELİPTİK TAŞIMA DAĞILIMI

Sirkülasyon dağılımı şu şekilde verilsin:

2

0

2



1

)

(







Γ

=



Γ

b

y

y

1. Başlangıçtaki sirkülasyon değeri Γ

0

2. Sirkülasyon dağılımı açıklık boyunca eliptik.



2

0

2



1

)

(



)

(







Γ

=



Γ

=







b

y

V

y

L

V

y

L

ρ

ρ



Eliptik Taşıma Dağılımı

3. Γ(b/2) = Γ(-b/2) = 0  (Taşıma kanat uçlarında sıfıra gidiyor)

Burada henüz temel denklemin çözümünü elde etmedik, sadece taşıma dağılımının 

eliptik olduğunu söylüyoruz. Böyle bir dağılım ile aerodinamik karakteristikler ne 

olur?

14


Sağanak: Verilen sirkülasyon dağılımın türevini alıp w(y

0

) denkleminde yerine koyalım



2

/

1



2

2

2



0

)

/



4

1



4

b

y

y

b

dy

d

Γ



=

Γ





Γ

=



2

/

2



/

0

0



 

 )

/



(

4

1



)

(

b



b

y

y

dy

dy

d

y

w

π





Γ

=

2



/

2

/



0

2

/



1

2

2



2

0

0



)

(

)



/

4

1



 

)



(

b

b

dy

y

y

b

y

y

b

y

w

π

Değişken dönüşümü:



θ

θ

θ



d

b

dy

b

y

 

sin



2

cos


2

=



=



Γ

=



Γ

=



π

π

θ



θ

θ

θ



π

θ

θ



θ

θ

π



θ

0

0



0

0

0



0

0

cos



cos

 

cos



2

cos


cos

 

cos



2

)

(



d

b

d

b

w

=



π

θ



θ

π

θ



θ

θ

θ



0

0

0



0

sin


sin

cos


cos

cos


n

d

n

olduğuna göre = 1 için



b

w

 

2



)

(

0



0

Γ



=

θ

Eliptik taşıma dağılımında sağanak kanat açıklığı boyunca sabittir.



15

İndüklenmiş hücum açısı:

Γ



=

=



bV

V

w

i

 

2



0

α

Bu ifadenin bu haliyle kullanılışı zordur. Daha kullanışlı bir 



şeklini şöyle elde edebiliriz.



⎟⎟



⎜⎜





Γ

=

2



/

2

/



2

/

1



2

2

0



4

1

b



b

dy

b

y

V

L

ρ

θ



cos

2

b



y

=

Değişken dönüşümü:



π

ρ

θ



θ

ρ

π



4

 

sin



2

0

0



2

0

b



V

d

b

V

L

Γ

=



Γ

=





π

ρ



b

V

L



=

Γ

4



0

π

b



SC

V

L

=



Γ

2

0



L

SC

V

L

2

2



1



=

ρ

Bu sonucu yukarıdaki α



i

ifadesinde yerine koyarsak

2

 

 



2

1

2



b

SC

bV

b

SC

V

L

i

L

i

π

α



π

α

=



=



AR

 

π



α

L

i

C

=

S



b

2

AR



=

Açıklık Oranı

AR

 



2

,

π



L

i

D

C

C

=



Γ



=

2

/



2

/

,



 )

(

2



b

b

i

i

D

dy

y

S

V

C

α

İndüklenmiş Sürükleme:



16

İndüklenmiş Sürükleme: Taşıma yüzünden oluşan sürükleme

İndüklenmiş Sürükleme C



D,i

açıklık oranı ile ters orantılıdır.

Günümüzdeki sesaltı uçaklarda açıklık 

oranı olarak genelde 6 – 8 arası değerler 

kullanılmaktadır.

Eliptik Taşıma Dağılımında Kanadın Plan Şekli

π

α

α



2

)

(



0

0

eff



0

=



=

=

a



a

c

L

l

l

c

q

y

L

y

c



=

)

(



)

(

l



cc

q

y

L

=



′ )

(

Kanadın Plan Şekli Eliptiktir



17

GENEL TAŞIMA DAĞILIMI

Daha önce uyguladığımıza benzer bir değişken dönüşümü uygulayalım:

θ

cos


2

b

y

=



2

0

2



1

)

(







Γ

=



Γ

b

y

y

θ

θ



sin

)

(



0

Γ

=



Γ

Eliptik Taşıma Dağılımı için:

Bu sonuç genel bir taşıma dağılımı için genel sirkülasyon dağılımının bir Fourier

sinüs serisi şeklinde yazılabileceğine işaret eder. Bu durumda genel hal için 

aşağıdaki sirkülasyon dağılımını kabul edelim:



=

Γ

N



n

n

A

bV

1

sin



2

)

(



θ

θ

A

1

A



2

, …, A

n

bilinmeyenleri Prandtl’ın taşıma çizgisi teorisini sağlamak zorundadır.



Verilen dağılım uygun şekilde yerine konursa:

A

1

A



2

, …, A

n

bilinmeyenleri 



yandaki denklem farklı açıklık 

istasyonunda yazılarak elde edilir



+



+

=

=



N

n

L

N

n

n

nA

n

A

c

b

1

0



1

0

0



sin

sin


sin

)

(



2

)

(



θ

θ

α



θ

θ

π



θ

α

18



Taşıma katsayısı için:



=

=



=

1



0

1

2



/

 

sin



sin

0

n



n

d

n

π

θ



θ

θ

π



∑ ∫

=



Γ

=





N

n

b

b

L

d

n

A

S

b

dy

y

S

V

C

1

0



2

2

/



2

/

 



sin

sin


2

)

(



2

π

θ



θ

θ

S



b

A

C

L

 

2



1

π

=



C

L

sadece A

1

’e bağlı




Γ

=

2



/

2

/



,

 )

(



2

b

b

i

D

dy

y

S

V

C

İndüklenmiş Sürükleme C



D,i

için:


Hesaplamalar yapılırsa

)

1



(

AR

 



2

,

δ



π

+

=



L

i

D

C

C

=



N

n

A

A

n

2

2



1

)

/



(

δ

Açıklık verim faktörü



1

)

1



(

+



=

δ

e

AR

 

2



,

e

C

C

L

i

D

π

=



1



e

Minimum indüklenmiş sürüklemeyi veren 

taşıma dağılımı eliptik taşıma dağılımıdır.

Eliptik taşıma dağılımında δ = 0 ve = 1

19


20

Geçmişte eliptik plan şekli ile tasarlanmış uçaklar bulunmaktadır:

İkinci Dünya Savaşında kullanılan İngiliz 

savaş uçağı Supermarine Spitfire.

AR

 

2



e

C

c

C

L

d

D

π

+



=

Sonlu kanadın 

toplam sürüklemesi:


Taşıma eğrisi eğiminin etkisi:

0

)



(

a

d

dC

i

L

=



α

α

sabit



)

(

0



+

=



i

L

a

C

α

α



sabit

AR

0



+





⎛ −

=

π



α

L

L

C

a

C

AR

/



1

0

0



π

α

a



a

a

d

dC

L

+

=



=

Eliptik plan şekilli 

bir sonlu kanat için

Genel plan şekilli 

bir sonlu kanat için:

)

AR)(1



/

(

1



0

0

τ



π

+

+



=

a

a

a

τ A

n

’lerin fonksiyonudur. 

Değeri 0.05-0.25 arası değişir

Sonlu kanadın etkisi taşıma 



eğimini azaltmaktır.

21


Do'stlaringiz bilan baham:


Ma'lumotlar bazasi mualliflik huquqi bilan himoyalangan ©fayllar.org 2017
ma'muriyatiga murojaat qiling