Sonlu kanat üzerindeki sikiştirilamaz akiş
Download 184.56 Kb. Pdf ko'rish
|
|
SONLU KANAT ÜZERİNDEKİ SIKIŞTIRILAMAZ AKIŞ Sonlu bir kanadın aerodinamik karakteristikleri, bu kanadın profillerinin özelliklerinden neden farklıdır? Bunun nedeni profil etrafındaki akışın iki boyutlu olması, kanadın ise üç boyutlu bir yapı olması nedeniyle üzerindeki akışın üç boyutlu olması yani kanat açıklığı yönünde bir akış bileşeninin ortaya çıkmasıdır. Kanat üzerinde taşıma yaratan fiziksel mekanizma alt yüzeyindeki yüksek basınç ile üst yüzeyindeki düşük basınç ve bu farkın yarattığı dengesizliktir. Bu dengesizlik aynı zamanda kanat ucu civarında akımın alt yüzeyden üst yüzeye doğru kıvrılmasına yol açar. 1 Kanadın üst yüzeyindeki akım kanat köküne doğru, kanat alt yüzeyindeki akım ise kanat ucuna doğru yönlenir. Böylece üç boyutlu ve kanat profilinden farklı bir akım yapısı ortaya çıkar. Akımın kanat uçlarından kaçması kanat ucu girdaplarının üretilmesine yol açar. Bu girdaplar kanat ucunda başlayarak akım aşağısına doğru uzanırlar.
Kanat ucu girdapları kanat üzerinde aşağıya doğru yönlenmiş bir hız bileşenine neden olurlar. Bu bileşene sağanak denir, w ile gösterilir. Sağanak ve serbest akım hızının birleşimi, kanadın her profilinde yerel akım hızını aşağıya doğru saptıracak bir etki oluşturur. Yerel kanat profili tarafından görülen hücum açısı veterle yerel göreceli hız arasındaki açıdır. Buna etkin hücum açısı α eff denir. Bu açı geometrik hücum açısı α’dan küçüktür. i α α α − = eff Yerel taşıma vektörü yerel göreceli hıza dik olduğu için düşey doğrultuya göre α i açısındadır ve bu nedenle V ∞ yönünde bir bileşeni ortaya çıkar. Buna indüklenmiş sürükleme, D i denir.
3 SONLU KANATTA NOTASYON Sesaltı akışta gerçek durumda sonlu bir kanadın toplam sürüklemesi: İndüklenmiş Sürükleme + Sürtünme Sürüklemesi + Basınç Sürüklemesi
top
= D i + D f + D p D f + D p = Profil Sürüklemesi, c d İnce kanat profili gibi iki boyutlu cisimlerde birim açıklık başına:
taşıma katsayısı D′ sürükleme kuv., c d sürükleme katsayısı M′ moment, c m moment katsayısını göstermekteydi.
∞ + = Sonlu kanat gibi üç boyutlu cisimlerde: L taşıma kuvveti, C L taşıma katsayısı D sürükleme kuv., C D sürükleme katsayısı M moment, C M moment katsayısını göstermektedir. İndüklenmiş sürükleme katsayısı
∞ = , Toplam sürükleme katsayısı: i D d D C c C , + = 4 GİRDAP FLAMANI, BIOT SAVART YASASI VE HELMHOLTZ TEOREMLERİ Genel eğrisel bir girdap flamanı tarafından bir P noktasında indüklenen hız: 3 4
r dl dV × Γ = π
Biot-Savart yasasını düz bir girdap flamanına uygulayalım: ∫ ∞
− × Γ = 3 4 r r dl V π ∫ ∞ ∞ − Γ =
r V 2 sin 4 θ π θ θ θ θ d h dl h l h r 2 sin tan sin
− = = = ∫ ∫ Γ − = Γ = ∞ ∞ − 0 2
sin 4 sin 4 π θ θ π θ π d h dl r V h V
2 π Γ = 5 Yarı sonsuz girdap flamanı için: Helmholtz Girdap Teoremleri: 1. Bir girdap flamanının şiddeti uzunluğu boyunca sabittir. 2. Bir girdap flamanı akışkan içinde bitmez, ya akışkanın sınırlarına kadar uzanmalı (±∞ olabilir) ya da kapalı bir yol oluşturmalıdır. Bu teoremleri daha sonraki bölümlerde kullanacağız. Sonlu bir kanattaki taşıma dağılımı
PRANDTL’IN KLASİK TAŞIMA-ÇİZGİSİ TEORİSİ: Sonlu bir kanat, bağlı girdap denilen, akış içinde sabit bir noktada bulunan Γ şiddetindeki bir girdap flamanı ve bunun uçlarından akım aşağısına devam eden uç girdapları ile modellenebilir. Buna atnalı girdabı denir. 7 Tek bir atnalı girdap sisteminin uç girdapları tarafından indüklediği sağanak hız dağılımı: ) 2 (
4 ) 2 ( 4 ) ( y b/ y b/ y w − Γ − + Γ − = π π 2 2 ) 2 ( 4 ) ( y b/ b y w − Γ − = π Sağanak hızının kanat ucunda sonsuza giden değeri doğru değil! 8 Bunu düzeltmek için bir tek atnalı girdap yerine, her birinin farklı uzunlukta bağlı girdabı olan ancak tüm bağlı girdapların aynı çizgi üzerinde olduğu çok sayıda atnalı girdap kullanalım. Bu çizgiye taşıma çizgisi denir. Sonlu sayıda atnalı girdabı yerinde sonsuz sayıda atnalı girdabı alırsak uç girdapları bir sürekli girdap caddesi oluştururlar. 9 Ortaya çıkan taşıma çizgisinden sonsuz küçük bir dy çizgi parçası alalım. dy parçası üzerinde dolaşımın değişimi dΓ = (dΓ/dy)dy. y’deki yarı sonsuz uç girdabının y 0 ’da indüklediği dw hızı Biot-Savart yasasına göre yazılabilir: ) ( 4 ) / ( 0
y dy dy d dw − Γ − = π 10 Tüm girdap caddesi tarafından y 0 ’da indüklenen hız: ∫ − − Γ − = 2 / 2 / 0 0 ) / ( 4 1 ) (
b y y dy dy d y w π Verilen bir sonlu kanat için Γ(y)’i ve buna karşılık gelen toplam taşıma ve indüklenmiş sürüklemeyi hesaplamak istiyoruz. Herhangi bir y 0 açıklık değerindeki profil kesitini düşünelim: ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − = ∞ − V y w y i ) ( tan ) ( 0 1 0 α Genelde w << V ∞ , => α i küçüktür
∞ − = V y w y i ) ( ) ( 0 0 α ∫ − ∞ − Γ − = 2 / 2 / 0 0 ) / (
4 1 ) ( b b i y y dy dy d V y π α 11 Etkin hücum açısını düşünürsek α eff
= α eff
(y 0 ). Kanat profili için taşıma katsayısı önceki konuda bulunmuştu: [ ] [ ] 0 0 eff
0 0 eff 0 ) ( 2 ) ( = = − = − = L L l y y a c α α π α α Kutta-Joukovski teoreminden: ) ( ) ( 0 0 2 2 1 y V c y c V L l Γ = = ′ ∞ ∞ ∞ ∞ ρ ρ ) ( ) ( 2 0 0 y c V y c l ∞ Γ = 0 0 0 eff
) ( ) ( = ∞ + Γ = L y c V y α π α i α α α − = eff i α α α + = eff ∫ − ∞ = ∞ − Γ + + Γ = 2 / 2 / 0 0 0 0 0 0
) / (
4 1 ) ( ) ( ) ( ) (
b L y y dy dy d V y y c V y y π α π α Prandtl’ın taşıma çizgisi teorisinin temel denklemi 12 Yukarıdaki temel denklemin çözülmesiyle elde edilecek olan Γ = Γ(y) çözümü bize sonlu bir kanadın üç temel aerodinamik karakteristiğini aşağıdaki şekilde verir. 1. Taşıma dağılımı Kutta-Joukowski teoreminden elde edilir: ) (
( 0 0 y V y L Γ = ′ ∞ ∞ ρ 2. Toplam taşıma yukarıdaki denklemin açıklık boyunca entegrasyonuyla elde edilir: ∫ ∫
∞ ∞ − Γ = ′ = 2 / 2 / 2 / 2 / ) ( ) ( b b b b dy y V L dy y L L ρ ∫ − ∞ ∞ Γ = = 2 / 2 / ) ( 2 b b L dy y S V S q L C Taşıma katsayısı: 3. İndüklenmiş sürükleme geometriden:
α sin ′ = ′ i i i L D α ′ = ′
i küçük olduğundan Toplam indüklenmiş sürükleme yukarıdaki denklemin açıklık boyunca entegrasyonu ile elde edilir. ∫ ∫
∞ ∞ − Γ = ′ = 2 / 2 / 2 / 2 / ) ( ) ( ) ( ) (
b i i b b i i dy y y V D dy y y L D α ρ α ∫ − ∞ ∞ Γ = = 2 / 2 / , ) ( ) ( 2 b b i i i D dy y y S V S q D C α
Sonuç olarak sonlu kanadın aerodinamik karakteristikleri temel denklemin çözülmesiyle elde edilecek olan Γ = Γ(y) ile bulunacaktır. Genel çözümü incelemeden önce eliptik taşıma dağılımı ile verilen özel bir hali inceleyelim.
Sirkülasyon dağılımı şu şekilde verilsin: 2 0
1 ) ( ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − Γ = Γ b y y 1. Başlangıçtaki sirkülasyon değeri Γ 0 2. Sirkülasyon dağılımı açıklık boyunca eliptik. 2 0 2 1 ) ( ) ( ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − Γ = ′ Γ = ′ ∞ ∞ ∞ ∞ b y V y L V y L ρ ρ Eliptik Taşıma Dağılımı 3. Γ(b/2) = Γ(-b/2) = 0 (Taşıma kanat uçlarında sıfıra gidiyor) Burada henüz temel denklemin çözümünü elde etmedik, sadece taşıma dağılımının eliptik olduğunu söylüyoruz. Böyle bir dağılım ile aerodinamik karakteristikler ne olur?
Sağanak: Verilen sirkülasyon dağılımın türevini alıp w(y 0 ) denkleminde yerine koyalım 2 / 1 2 2 2 0 ) / 4 1 ( 4 b y y b dy d − Γ − = Γ ∫ − − Γ − = 2 / 2 / 0 0 ) / ( 4 1 ) (
b y y dy dy d y w π ∫ − − − Γ = 2 / 2 / 0 2 / 1 2 2 2 0 0 ) ( ) / 4 1 (
) ( b b dy y y b y y b y w π Değişken dönüşümü: θ θ θ d b dy b y
sin 2 cos
2 − = = ∫ ∫ − Γ = − Γ = π π θ θ θ θ π θ θ θ θ π θ 0 0 0 0 0 0 0 cos cos
cos 2 cos
cos
cos 2 ) ( d b d b w ∫ = − π θ θ π θ θ θ θ 0 0 0 0 sin
sin cos
cos cos
n d n olduğuna göre n = 1 için b w
2 ) ( 0 0 Γ − = θ Eliptik taşıma dağılımında sağanak kanat açıklığı boyunca sabittir. 15 İndüklenmiş hücum açısı: ∞ Γ = ∞ = bV V w i
2 0 α Bu ifadenin bu haliyle kullanılışı zordur. Daha kullanışlı bir şeklini şöyle elde edebiliriz. ∫ − ∞ ∞ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − Γ = 2 / 2 / 2 / 1 2 2 0 4 1
b dy b y V L ρ θ cos 2
y = Değişken dönüşümü: π ρ θ θ ρ π 4
sin 2 0 0 2 0
V d b V L Γ = Γ = ∞ ∞ ∞ ∞ ∫ π ρ b V L ∞ ∞ = Γ 4 0 π
SC V L ∞ = Γ 2 0 L SC V L 2 2 1 ∞ ∞ = ρ Bu sonucu yukarıdaki α i ifadesinde yerine koyarsak 2
2 1 2 b SC bV b SC V L i L i π α π α = ∞ = ∞ AR
π α L i C =
b 2 AR = Açıklık Oranı AR
2 , π L i D C C = ∫ − ∞ Γ = 2 / 2 / , ) ( 2 b b i i D dy y S V C α İndüklenmiş Sürükleme: 16 İndüklenmiş Sürükleme: Taşıma yüzünden oluşan sürükleme İndüklenmiş Sürükleme C D,i açıklık oranı ile ters orantılıdır. Günümüzdeki sesaltı uçaklarda açıklık oranı olarak genelde 6 – 8 arası değerler kullanılmaktadır. Eliptik Taşıma Dağılımında Kanadın Plan Şekli π α
2 ) ( 0 0 eff 0 = − = =
a c L l l c q y L y c ∞ ′ = ) ( ) (
cc q y L ∞ = ′ ) ( Kanadın Plan Şekli Eliptiktir 17 GENEL TAŞIMA DAĞILIMI Daha önce uyguladığımıza benzer bir değişken dönüşümü uygulayalım: θ cos
2 b y − = 2 0 2 1 ) ( ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − Γ = Γ b y y θ θ sin ) ( 0 Γ = Γ Eliptik Taşıma Dağılımı için: Bu sonuç genel bir taşıma dağılımı için genel sirkülasyon dağılımının bir Fourier sinüs serisi şeklinde yazılabileceğine işaret eder. Bu durumda genel hal için aşağıdaki sirkülasyon dağılımını kabul edelim: ∑ ∞ = Γ
n n A bV 1 sin 2 ) ( θ θ
1 , A 2 , …, A n bilinmeyenleri Prandtl’ın taşıma çizgisi teorisini sağlamak zorundadır. Verilen dağılım uygun şekilde yerine konursa: A 1 , A 2 , …, A n bilinmeyenleri yandaki denklem N farklı açıklık istasyonunda yazılarak elde edilir ∑ ∑
+ = = N n L N n n nA n A c b 1 0 1 0 0 sin sin
sin ) ( 2 ) ( θ θ α θ θ π θ α
Taşıma katsayısı için: ⎩ ⎨ ⎧ = = = ∫ 1 0 1 2 /
sin sin 0
n d n π θ θ θ π ∑ ∫ ∫ = Γ = − ∞ N n b b L d n A S b dy y S V C 1 0 2 2 / 2 /
sin sin
2 ) ( 2 π θ θ θ
b A C L
2 1 π = C L sadece A 1 ’e bağlı
∫ − ∞ Γ = 2 / 2 / , ) ( 2 b b i D dy y S V C İndüklenmiş Sürükleme C D,i için:
Hesaplamalar yapılırsa ) 1 ( AR
2 , δ π + = L i D C C ∑ = N n A A n 2 2 1 ) / ( δ Açıklık verim faktörü 1 ) 1 ( − + = δ
AR
, e C C L i D π = 1 ≤
Minimum indüklenmiş sürüklemeyi veren taşıma dağılımı eliptik taşıma dağılımıdır. Eliptik taşıma dağılımında δ = 0 ve e = 1
20 Geçmişte eliptik plan şekli ile tasarlanmış uçaklar bulunmaktadır: İkinci Dünya Savaşında kullanılan İngiliz savaş uçağı Supermarine Spitfire. AR
e C c C L d D π + = Sonlu kanadın toplam sürüklemesi:
Taşıma eğrisi eğiminin etkisi: 0 ) ( a d dC i L = − α α sabit ) ( 0 + − = i L a C α α sabit AR 0 + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − = π α L L C a C AR / 1 0 0 π α
a a d dC L + = = Eliptik plan şekilli bir sonlu kanat için Genel plan şekilli bir sonlu kanat için: ) AR)(1 / ( 1 0 0 τ π + + = a a a τ A n ’lerin fonksiyonudur. Değeri 0.05-0.25 arası değişir Sonlu kanadın etkisi taşıma eğimini azaltmaktır. 21 Download 184.56 Kb. Do'stlaringiz bilan baham: 
|