Способы решения функциональных уравнений

Пример 4.3.1 Найти функцию f (х), определенную на множестве действительных чисел, отличных от 0, 1, -1, и удовлетворяющую уравнению


(4.3.2)


Решение. Выражения , стоящие под знаком неизвестной функции f, являются элементами группы, заданной таблицей:

Заменяя последовательно х на , , , получим систему

Последовательно исключая неизвестные , , , имеем

Рассуждения вытекали из предположения, что решение уравнения (4.3.2) существует. Подставляя в (4.3.2) полученную функцию, убедимся, что она удовлетворяет уравнению.

Пример 4.3.2 Найти функцию f(x), х ≠ 0, х ≠ а, удовлетворяющую уравнению

где а - постоянная, отличная от 0.

Решение. Нетрудно проверить, что выражения х, , вместе с составляют группу с таблицей:

Здесь x R\{0, а}.

Рассуждая аналогично решению примера 4.3.1, получим систему

из нее находим

.

Проверка показывает, что эта функция удовлетворяет уравнению.

Иногда в функциональном уравнении выражения, стоящие под знаком неизвестной функции, являются значениями элементов некоторой группы от одной и той же функции g. После замены g(x) на x получаем уравнение, которое решается изложенным выше методом.
Рассмотрим функциональные уравнения, в которых под знаков неизвестной функции стоят, кроме выражений, зависящих от х, и константы.

4.4 Применение теории матриц к решению функциональных уравнений

Под знаком неизвестной функции могут стоять дробно-линейные выражения вида . Такие дроби полностью определяются заданием матрицы , составленной из коэффициентов a, b, c, d.