Способы решения функциональных уравнений

Пример 4.4.1 Найти функцию f, определенную при и удовлетворяющую уравнению


(4.4.1)


Решение. Отыщем подстановку, переводящую выражения, стоящие под знаком неизвестной функции f в уравнении (4.4.1), друг в друга.
Для этого положим


.

Отсюда

.

Кроме того,

.

Следовательно, подстановка - искомая. Уравнение (4.4.1) примет вид

. (4.4.2)

В уравнении (4.4.1) Подстановка переводит точки соответственно в точки . Кроме того, из характера подстановки вытекает . Поэтому в уравнении (4.4.2) . Область допустимых значений х в системе, составленной из уравнений (4.4.1) и (4.4.2), является пересечением соответствующих областей каждого из уравнений (4.4.1) и (4.4.2), т.е. . Исключая из этой системы , получим

Обозначив

,
получим


.

Из условия получаем , а также , что определяется видом подстановки.

Подстановка дает


.

Итак, функция

с областью определения является решением примера 4.4.1, что и подтверждается проверкой. Сужение области определения искомой функции удалением точек вызвано методом решения уравнения. Несложные вычисления показывают, что функция

, ,

удовлетворяет исходному уравнению.

В самом деле, полагая в (4.4.1) , получим .
Значения функции


, ,

в точках и 1 соответственно равны и удовлетворяют приведенному соотношению.

Более того, решение уравнения (4.4.1) в классе функций таких, что имеет вид

Уравнение (4.4.1) решено, так как найдена подстановка переводящая дробно-линейные функции и , получим друг в друга. На языке матриц это означает, что найдена матрица такая, что

АХ = kB; BX =lA,

где .

Возникает вопрос, для любых ли дробно-линейных функций существует аналогичная подстановка; другими словами, для любых ли матриц А и В существует матрица X, удовлетворяющая уравнениям


АХ = kВ, (4.4.3)
ВХ = lА (4.4.4)

при некоторых k, l, отличных от нуля.

Предполагая, что такая матрица существует, из уравнений (4.4.3) и (4.4.24) получим:


(lА)X = (lk)В, (ВХ)X = (lk)В,
BX² = (lk)B (4.4.5)

Предположим, что функции, соответствующие матрицам А и В, отличны от констант. Тогда, как показано выше, для А и В существуют обратные матрицы. Умножим обе части равенства (4.4.5) слева на В^-1. Получим

B^-1BX²= B^-1lkB; EX² = (lk)E; X² = mE, где m=lk

Найдем общий вид матрицы

такой, что , т.е.
,

при некотором m ≠ 0. Заметим, что х₁x₄ - х₂х₃ ≠ 0. Из правила умножения и условия равенства матриц имеем:

Вычитая из первого уравнения четвертое, получим т. е. , либо .

Если , то = 0 и = 0, что приводит к матрицам вида


или .

Если же то придем к матрице

Проверкой убеждаемся, что матрицы Х₂ и Х₃ удовлетворяют уравнению X²=mЕ при некотором m. Матрица Х₃ при х₁ = 0 дает X₁.

Итак, матрицы вида


и

и только они удовлетворяют уравнению

X² = mE, m ≠ 0.

Из (4.4.4) имеем

X = lВ^-1А.

Поэтому, если матрица В^-1А имеет вид Х₂ или Х₃, то она удовлетворяет каждому из уравнений (4.4.3), (4.4.4).

Теперь изложим один из способов решения функционального уравнения вида


(4.4.6)

где s(x), t(x), р (х) - некоторые данные функции,

Решая матричное уравнение вида


А = ВХ,
где , ,

получим

X = В^-1А,

Если матрица X имеет вид , то подстановка в (4.4.6) даст второе уравнение относительно неизвестных

,

Если полученная система имеет решение, то из нее найдем выражение для . Последнее дает возможность найти f(x). Как обычно, обязательной частью решения является проверка. Случай

тривиален,

А = х₁В,

т.е. выражения, стоящие в (4.4.6) под знаком f, совпадают.